Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20746 / 12554
↖ ↑ ↗
← N 80.979383°
W123.019409°		 ← 47.88 m → N 80.979383°
W123.016663°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
N 80.978952°
W123.019409°		 ← 47.88 m →
2 294 m²		 N 80.978952°
W123.016663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158283233642578 y=0.0957832336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158283233642578 × 217)
    floor (0.158283233642578 × 131072)
    floor (20746.5)     		tx = 20746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0957832336425781 × 217)
    floor (0.0957832336425781 × 131072)
    floor (12554.5)     		ty = 12554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20746 / 12554 ti = "17/20746/12554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20746/12554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20746 ÷ 217
    20746 ÷ 131072     		x = 0.158279418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12554 ÷ 217
    12554 ÷ 131072     		y = 0.0957794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158279418945312 × 2 - 1) × π
    -0.683441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14709373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0957794189453125 × 2 - 1) × π
    0.808441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53979281566982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14709373} λ = -2.14709373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53979281566982))-π/2
    2×atan(12.6770442138177)-π/2
    2×1.49207659288146-π/2
    2.98415318576293-1.57079632675     		φ = 1.41335686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14709373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.019409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41335686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.979383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20746 KachelY 12554 -2.14709373 1.41335686 -123.019409 80.979383
    Oben rechts KachelX + 1 20747 KachelY 12554 -2.14704580 1.41335686 -123.016663 80.979383
    Unten links KachelX 20746 KachelY + 1 12555 -2.14709373 1.41334934 -123.019409 80.978952
    Unten rechts KachelX + 1 20747 KachelY + 1 12555 -2.14704580 1.41334934 -123.016663 80.978952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41335686-1.41334934) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41335686-1.41334934) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14709373--2.14704580) × cos(1.41335686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156789858865284 × 6371000     		do = 47.8776695865458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14709373--2.14704580) × cos(1.41334934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156797285853387 × 6371000     		du = 47.8799375067097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41335686)-sin(1.41334934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156789858865284-0.156797285853387)×R²
    abs(-2.14704580--2.14709373)×7.42698810290987e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.42698810290987e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.42698810290987e-06×40589641000000     		ar = 2293.86964767169m²