Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20743 / 5367
↖ ↑ ↗
← N 76.208586°
E 47.889404°		 ← 291.22 m → N 76.208586°
E 47.900391°		 →
↑
291.28 m
↓
↑
291.28 m
↓
N 76.205967°
E 47.889404°		 ← 291.28 m →
84 836 m²		 N 76.205967°
E 47.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633041381835938 y=0.163803100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633041381835938 × 215)
    floor (0.633041381835938 × 32768)
    floor (20743.5)     		tx = 20743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163803100585938 × 215)
    floor (0.163803100585938 × 32768)
    floor (5367.5)     		ty = 5367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20743 / 5367 ti = "15/20743/5367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20743/5367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20743 ÷ 215
    20743 ÷ 32768     		x = 0.633026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5367 ÷ 215
    5367 ÷ 32768     		y = 0.163787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633026123046875 × 2 - 1) × π
    0.26605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83582778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163787841796875 × 2 - 1) × π
    0.67242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11248329245663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83582778} λ = 0.83582778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11248329245663))-π/2
    2×atan(8.26874953343998)-π/2
    2×1.4504435379587-π/2
    2.9008870759174-1.57079632675     		φ = 1.33009075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83582778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33009075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.208586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20743 KachelY 5367 0.83582778 1.33009075 47.889404 76.208586
    Oben rechts KachelX + 1 20744 KachelY 5367 0.83601953 1.33009075 47.900391 76.208586
    Unten links KachelX 20743 KachelY + 1 5368 0.83582778 1.33004503 47.889404 76.205967
    Unten rechts KachelX + 1 20744 KachelY + 1 5368 0.83601953 1.33004503 47.900391 76.205967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33009075-1.33004503) × R
    4.57200000001379e-05 × 6371000     		dl = 291.282120000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33009075-1.33004503) × R
    4.57200000001379e-05 × 6371000     		dr = 291.282120000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83582778-0.83601953) × cos(1.33009075) × R
    0.000191749999999935 × 0.238387920736556 × 6371000     		do = 291.224040697566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83582778-0.83601953) × cos(1.33004503) × R
    0.000191749999999935 × 0.238432322380501 × 6371000     		du = 291.278283488575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33009075)-sin(1.33004503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238387920736556-0.238432322380501)×R²
    abs(0.83601953-0.83582778)×4.4401643945674e-05×R²
    0.000191749999999935×4.4401643945674e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.4401643945674e-05×40589641000000     		ar = 84836.2559616638m²