Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20743 / 28932
↖ ↑ ↗
← N 70.374164°
W123.027649°		 ← 102.56 m → N 70.374164°
W123.024902°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 70.373242°
W123.027649°		 ← 102.57 m →
10 521 m²		 N 70.373242°
W123.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158260345458984 y=0.220737457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158260345458984 × 217)
    floor (0.158260345458984 × 131072)
    floor (20743.5)     		tx = 20743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220737457275391 × 217)
    floor (0.220737457275391 × 131072)
    floor (28932.5)     		ty = 28932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20743 / 28932 ti = "17/20743/28932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20743/28932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20743 ÷ 217
    20743 ÷ 131072     		x = 0.158256530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28932 ÷ 217
    28932 ÷ 131072     		y = 0.220733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158256530761719 × 2 - 1) × π
    -0.683486938476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.14723754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220733642578125 × 2 - 1) × π
    0.55853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75468227369254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14723754} λ = -2.14723754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75468227369254))-π/2
    2×atan(5.78161048034994)-π/2
    2×1.39952860043709-π/2
    2.79905720087418-1.57079632675     		φ = 1.22826087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14723754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.027649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22826087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.374164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20743 KachelY 28932 -2.14723754 1.22826087 -123.027649 70.374164
    Oben rechts KachelX + 1 20744 KachelY 28932 -2.14718961 1.22826087 -123.024902 70.374164
    Unten links KachelX 20743 KachelY + 1 28933 -2.14723754 1.22824477 -123.027649 70.373242
    Unten rechts KachelX + 1 20744 KachelY + 1 28933 -2.14718961 1.22824477 -123.024902 70.373242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22826087-1.22824477) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22826087-1.22824477) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14723754--2.14718961) × cos(1.22826087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335876331385237 × 6371000     		do = 102.563878380811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14723754--2.14718961) × cos(1.22824477) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335891496029819 × 6371000     		du = 102.568509087465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22826087)-sin(1.22824477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335876331385237-0.335891496029819)×R²
    abs(-2.14718961--2.14723754)×1.51646445822329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51646445822329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51646445822329e-05×40589641000000     		ar = 10520.5324466542m²