Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20742 / 5385
↖ ↑ ↗
← N 76.161365°
E 47.878418°		 ← 292.20 m → N 76.161365°
E 47.889404°		 →
↑
292.17 m
↓
↑
292.17 m
↓
N 76.158737°
E 47.878418°		 ← 292.26 m →
85 382 m²		 N 76.158737°
E 47.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633010864257812 y=0.164352416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633010864257812 × 215)
    floor (0.633010864257812 × 32768)
    floor (20742.5)     		tx = 20742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164352416992188 × 215)
    floor (0.164352416992188 × 32768)
    floor (5385.5)     		ty = 5385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20742 / 5385 ti = "15/20742/5385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20742/5385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20742 ÷ 215
    20742 ÷ 32768     		x = 0.63299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5385 ÷ 215
    5385 ÷ 32768     		y = 0.164337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63299560546875 × 2 - 1) × π
    0.2659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83563603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164337158203125 × 2 - 1) × π
    0.67132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10903183568399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83563603} λ = 0.83563603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10903183568399))-π/2
    2×atan(8.24025949620988)-π/2
    2×1.45003145494673-π/2
    2.90006290989345-1.57079632675     		φ = 1.32926658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83563603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32926658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.161365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20742 KachelY 5385 0.83563603 1.32926658 47.878418 76.161365
    Oben rechts KachelX + 1 20743 KachelY 5385 0.83582778 1.32926658 47.889404 76.161365
    Unten links KachelX 20742 KachelY + 1 5386 0.83563603 1.32922072 47.878418 76.158737
    Unten rechts KachelX + 1 20743 KachelY + 1 5386 0.83582778 1.32922072 47.889404 76.158737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32926658-1.32922072) × R
    4.58600000001752e-05 × 6371000     		dl = 292.174060001116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32926658-1.32922072) × R
    4.58600000001752e-05 × 6371000     		dr = 292.174060001116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83563603-0.83582778) × cos(1.32926658) × R
    0.000191750000000046 × 0.239188248874488 × 6371000     		do = 292.201752963913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83563603-0.83582778) × cos(1.32922072) × R
    0.000191750000000046 × 0.239232777454527 × 6371000     		du = 292.256150825035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32926658)-sin(1.32922072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239188248874488-0.239232777454527)×R²
    abs(0.83582778-0.83563603)×4.45285800388107e-05×R²
    0.000191750000000046×4.45285800388107e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.45285800388107e-05×40589641000000     		ar = 85381.7193404131m²