Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20742 / 5372
↖ ↑ ↗
← N 76.195485°
E 47.878418°		 ← 291.50 m → N 76.195485°
E 47.889404°		 →
↑
291.54 m
↓
↑
291.54 m
↓
N 76.192863°
E 47.878418°		 ← 291.55 m →
84 990 m²		 N 76.192863°
E 47.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633010864257812 y=0.163955688476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633010864257812 × 215)
    floor (0.633010864257812 × 32768)
    floor (20742.5)     		tx = 20742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163955688476562 × 215)
    floor (0.163955688476562 × 32768)
    floor (5372.5)     		ty = 5372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20742 / 5372 ti = "15/20742/5372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20742/5372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20742 ÷ 215
    20742 ÷ 32768     		x = 0.63299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5372 ÷ 215
    5372 ÷ 32768     		y = 0.1639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63299560546875 × 2 - 1) × π
    0.2659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83563603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1639404296875 × 2 - 1) × π
    0.672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11152455446423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83563603} λ = 0.83563603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11152455446423))-π/2
    2×atan(8.26082576812699)-π/2
    2×1.45032920896355-π/2
    2.90065841792711-1.57079632675     		φ = 1.32986209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83563603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32986209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.195485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20742 KachelY 5372 0.83563603 1.32986209 47.878418 76.195485
    Oben rechts KachelX + 1 20743 KachelY 5372 0.83582778 1.32986209 47.889404 76.195485
    Unten links KachelX 20742 KachelY + 1 5373 0.83563603 1.32981633 47.878418 76.192863
    Unten rechts KachelX + 1 20743 KachelY + 1 5373 0.83582778 1.32981633 47.889404 76.192863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32986209-1.32981633) × R
    4.57599999998948e-05 × 6371000     		dl = 291.53695999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32986209-1.32981633) × R
    4.57599999998948e-05 × 6371000     		dr = 291.53695999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83563603-0.83582778) × cos(1.32986209) × R
    0.000191750000000046 × 0.23860998223829 × 6371000     		do = 291.495319744168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83563603-0.83582778) × cos(1.32981633) × R
    0.000191750000000046 × 0.238654420232838 × 6371000     		du = 291.549606942499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32986209)-sin(1.32981633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23860998223829-0.238654420232838)×R²
    abs(0.83582778-0.83563603)×4.44379945479523e-05×R²
    0.000191750000000046×4.44379945479523e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.44379945479523e-05×40589641000000     		ar = 84989.5727500576m²