Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20742 / 5363
↖ ↑ ↗
← N 76.219058°
E 47.878418°		 ← 291.01 m → N 76.219058°
E 47.889404°		 →
↑
291.03 m
↓
↑
291.03 m
↓
N 76.216441°
E 47.878418°		 ← 291.06 m →
84 699 m²		 N 76.216441°
E 47.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633010864257812 y=0.163681030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633010864257812 × 215)
    floor (0.633010864257812 × 32768)
    floor (20742.5)     		tx = 20742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163681030273438 × 215)
    floor (0.163681030273438 × 32768)
    floor (5363.5)     		ty = 5363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20742 / 5363 ti = "15/20742/5363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20742/5363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20742 ÷ 215
    20742 ÷ 32768     		x = 0.63299560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5363 ÷ 215
    5363 ÷ 32768     		y = 0.163665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63299560546875 × 2 - 1) × π
    0.2659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83563603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163665771484375 × 2 - 1) × π
    0.67266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11325028285056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83563603} λ = 0.83563603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11325028285056))-π/2
    2×atan(8.27509401767007)-π/2
    2×1.45053492454098-π/2
    2.90106984908196-1.57079632675     		φ = 1.33027352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83563603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33027352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.219058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20742 KachelY 5363 0.83563603 1.33027352 47.878418 76.219058
    Oben rechts KachelX + 1 20743 KachelY 5363 0.83582778 1.33027352 47.889404 76.219058
    Unten links KachelX 20742 KachelY + 1 5364 0.83563603 1.33022784 47.878418 76.216441
    Unten rechts KachelX + 1 20743 KachelY + 1 5364 0.83582778 1.33022784 47.889404 76.216441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33027352-1.33022784) × R
    4.56799999999369e-05 × 6371000     		dl = 291.027279999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33027352-1.33022784) × R
    4.56799999999369e-05 × 6371000     		dr = 291.027279999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83563603-0.83582778) × cos(1.33027352) × R
    0.000191750000000046 × 0.238210416012129 × 6371000     		do = 291.007193959315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83563603-0.83582778) × cos(1.33022784) × R
    0.000191750000000046 × 0.238254780799439 × 6371000     		du = 291.061391724811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33027352)-sin(1.33022784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238210416012129-0.238254780799439)×R²
    abs(0.83582778-0.83563603)×4.43647873097919e-05×R²
    0.000191750000000046×4.43647873097919e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.43647873097919e-05×40589641000000     		ar = 84698.9186472248m²