Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20742 / 30462
↖ ↑ ↗
← N 68.912981°
W123.030395°		 ← 109.89 m → N 68.912981°
W123.027649°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 68.911993°
W123.030395°		 ← 109.89 m →
12 077 m²		 N 68.911993°
W123.027649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158252716064453 y=0.232410430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158252716064453 × 217)
    floor (0.158252716064453 × 131072)
    floor (20742.5)     		tx = 20742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232410430908203 × 217)
    floor (0.232410430908203 × 131072)
    floor (30462.5)     		ty = 30462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20742 / 30462 ti = "17/20742/30462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20742/30462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20742 ÷ 217
    20742 ÷ 131072     		x = 0.158248901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30462 ÷ 217
    30462 ÷ 131072     		y = 0.232406616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158248901367188 × 2 - 1) × π
    -0.683502197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14728548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232406616210938 × 2 - 1) × π
    0.535186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68133881727385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14728548} λ = -2.14728548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68133881727385))-π/2
    2×atan(5.37274428098291)-π/2
    2×1.38677737386485-π/2
    2.77355474772971-1.57079632675     		φ = 1.20275842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14728548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.030395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20275842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.912981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20742 KachelY 30462 -2.14728548 1.20275842 -123.030395 68.912981
    Oben rechts KachelX + 1 20743 KachelY 30462 -2.14723754 1.20275842 -123.027649 68.912981
    Unten links KachelX 20742 KachelY + 1 30463 -2.14728548 1.20274117 -123.030395 68.911993
    Unten rechts KachelX + 1 20743 KachelY + 1 30463 -2.14723754 1.20274117 -123.027649 68.911993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20275842-1.20274117) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dl = 109.899750001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20275842-1.20274117) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dr = 109.899750001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14728548--2.14723754) × cos(1.20275842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359785423913884 × 6371000     		do = 109.88772934004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14728548--2.14723754) × cos(1.20274117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359801518715375 × 6371000     		du = 109.892645106695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20275842)-sin(1.20274117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359785423913884-0.359801518715375)×R²
    abs(-2.14723754--2.14728548)×1.60948014912288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60948014912288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60948014912288e-05×40589641000000     		ar = 12076.904103662m²