Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20741 / 5387
↖ ↑ ↗
← N 76.156109°
E 47.867432°		 ← 292.30 m → N 76.156109°
E 47.878418°		 →
↑
292.37 m
↓
↑
292.37 m
↓
N 76.153479°
E 47.867432°		 ← 292.35 m →
85 465 m²		 N 76.153479°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632980346679688 y=0.164413452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632980346679688 × 215)
    floor (0.632980346679688 × 32768)
    floor (20741.5)     		tx = 20741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164413452148438 × 215)
    floor (0.164413452148438 × 32768)
    floor (5387.5)     		ty = 5387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20741 / 5387 ti = "15/20741/5387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20741/5387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20741 ÷ 215
    20741 ÷ 32768     		x = 0.632965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5387 ÷ 215
    5387 ÷ 32768     		y = 0.164398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632965087890625 × 2 - 1) × π
    0.26593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83544429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164398193359375 × 2 - 1) × π
    0.67120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10864834048703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83544429} λ = 0.83544429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10864834048703))-π/2
    2×atan(8.2371000021355)-π/2
    2×1.449985582635-π/2
    2.89997116527001-1.57079632675     		φ = 1.32917484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83544429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.867432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32917484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.156109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20741 KachelY 5387 0.83544429 1.32917484 47.867432 76.156109
    Oben rechts KachelX + 1 20742 KachelY 5387 0.83563603 1.32917484 47.878418 76.156109
    Unten links KachelX 20741 KachelY + 1 5388 0.83544429 1.32912895 47.867432 76.153479
    Unten rechts KachelX + 1 20742 KachelY + 1 5388 0.83563603 1.32912895 47.878418 76.153479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32917484-1.32912895) × R
    4.58899999999929e-05 × 6371000     		dl = 292.365189999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32917484-1.32912895) × R
    4.58899999999929e-05 × 6371000     		dr = 292.365189999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83544429-0.83563603) × cos(1.32917484) × R
    0.000191739999999996 × 0.239277324950451 × 6371000     		do = 292.295327436096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83544429-0.83563603) × cos(1.32912895) × R
    0.000191739999999996 × 0.239321881652105 × 6371000     		du = 292.34975681298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32917484)-sin(1.32912895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239277324950451-0.239321881652105)×R²
    abs(0.83563603-0.83544429)×4.45567016543191e-05×R²
    0.000191739999999996×4.45567016543191e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.45567016543191e-05×40589641000000     		ar = 85464.9355844221m²