Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20741 / 5369
↖ ↑ ↗
← N 76.203347°
E 47.867432°		 ← 291.32 m → N 76.203347°
E 47.878418°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 76.200727°
E 47.867432°		 ← 291.37 m →
84 882 m²		 N 76.200727°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632980346679688 y=0.163864135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632980346679688 × 215)
    floor (0.632980346679688 × 32768)
    floor (20741.5)     		tx = 20741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163864135742188 × 215)
    floor (0.163864135742188 × 32768)
    floor (5369.5)     		ty = 5369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20741 / 5369 ti = "15/20741/5369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20741/5369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20741 ÷ 215
    20741 ÷ 32768     		x = 0.632965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5369 ÷ 215
    5369 ÷ 32768     		y = 0.163848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632965087890625 × 2 - 1) × π
    0.26593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83544429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163848876953125 × 2 - 1) × π
    0.67230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11209979725967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83544429} λ = 0.83544429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11209979725967))-π/2
    2×atan(8.26557911566788)-π/2
    2×1.45039781913409-π/2
    2.90079563826817-1.57079632675     		φ = 1.32999931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83544429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.867432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32999931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.203347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20741 KachelY 5369 0.83544429 1.32999931 47.867432 76.203347
    Oben rechts KachelX + 1 20742 KachelY 5369 0.83563603 1.32999931 47.878418 76.203347
    Unten links KachelX 20741 KachelY + 1 5370 0.83544429 1.32995358 47.867432 76.200727
    Unten rechts KachelX + 1 20742 KachelY + 1 5370 0.83563603 1.32995358 47.878418 76.200727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32999931-1.32995358) × R
    4.57300000000771e-05 × 6371000     		dl = 291.345830000491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32999931-1.32995358) × R
    4.57300000000771e-05 × 6371000     		dr = 291.345830000491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83544429-0.83563603) × cos(1.32999931) × R
    0.000191739999999996 × 0.238476723526047 × 6371000     		do = 291.317332318755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83544429-0.83563603) × cos(1.32995358) × R
    0.000191739999999996 × 0.238521133884474 × 6371000     		du = 291.371582926332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32999931)-sin(1.32995358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238476723526047-0.238521133884474)×R²
    abs(0.83563603-0.83544429)×4.44103584269495e-05×R²
    0.000191739999999996×4.44103584269495e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.44103584269495e-05×40589641000000     		ar = 84881.9928363826m²