Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20741 / 12549
↖ ↑ ↗
← N 80.981536°
W123.033142°		 ← 47.88 m → N 80.981536°
W123.030395°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.981105°
W123.033142°		 ← 47.88 m →
2 291 m²		 N 80.981105°
W123.030395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158245086669922 y=0.0957450866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158245086669922 × 217)
    floor (0.158245086669922 × 131072)
    floor (20741.5)     		tx = 20741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0957450866699219 × 217)
    floor (0.0957450866699219 × 131072)
    floor (12549.5)     		ty = 12549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20741 / 12549 ti = "17/20741/12549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20741/12549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20741 ÷ 217
    20741 ÷ 131072     		x = 0.158241271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12549 ÷ 217
    12549 ÷ 131072     		y = 0.0957412719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158241271972656 × 2 - 1) × π
    -0.683517456054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.14733342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0957412719726562 × 2 - 1) × π
    0.808517456054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.54003250016792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14733342} λ = -2.14733342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54003250016792))-π/2
    2×atan(12.6800830689661)-π/2
    2×1.49209538070708-π/2
    2.98419076141416-1.57079632675     		φ = 1.41339443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14733342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.033142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41339443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.981536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20741 KachelY 12549 -2.14733342 1.41339443 -123.033142 80.981536
    Oben rechts KachelX + 1 20742 KachelY 12549 -2.14728548 1.41339443 -123.030395 80.981536
    Unten links KachelX 20741 KachelY + 1 12550 -2.14733342 1.41338692 -123.033142 80.981105
    Unten rechts KachelX + 1 20742 KachelY + 1 12550 -2.14728548 1.41338692 -123.030395 80.981105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41339443-1.41338692) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41339443-1.41338692) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14733342--2.14728548) × cos(1.41339443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156752753420916 × 6371000     		do = 47.8763257105894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14733342--2.14728548) × cos(1.41338692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156760170576945 × 6371000     		du = 47.8785911009583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41339443)-sin(1.41338692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156752753420916-0.156760170576945)×R²
    abs(-2.14728548--2.14733342)×7.41715602903259e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41715602903259e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41715602903259e-06×40589641000000     		ar = 2290.75492902547m²