Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20741 / 12027
↖ ↑ ↗
← N 81.203520°
W123.033142°		 ← 46.71 m → N 81.203520°
W123.030395°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
N 81.203100°
W123.033142°		 ← 46.71 m →
2 181 m²		 N 81.203100°
W123.030395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158245086669922 y=0.0917625427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158245086669922 × 217)
    floor (0.158245086669922 × 131072)
    floor (20741.5)     		tx = 20741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0917625427246094 × 217)
    floor (0.0917625427246094 × 131072)
    floor (12027.5)     		ty = 12027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20741 / 12027 ti = "17/20741/12027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20741/12027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20741 ÷ 217
    20741 ÷ 131072     		x = 0.158241271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12027 ÷ 217
    12027 ÷ 131072     		y = 0.0917587280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158241271972656 × 2 - 1) × π
    -0.683517456054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.14733342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0917587280273438 × 2 - 1) × π
    0.816482543945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.56505556176958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14733342} λ = -2.14733342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56505556176958))-π/2
    2×atan(13.001380729323)-π/2
    2×1.49403255660485-π/2
    2.98806511320969-1.57079632675     		φ = 1.41726879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14733342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.033142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41726879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.203520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20741 KachelY 12027 -2.14733342 1.41726879 -123.033142 81.203520
    Oben rechts KachelX + 1 20742 KachelY 12027 -2.14728548 1.41726879 -123.030395 81.203520
    Unten links KachelX 20741 KachelY + 1 12028 -2.14733342 1.41726146 -123.033142 81.203100
    Unten rechts KachelX + 1 20742 KachelY + 1 12028 -2.14728548 1.41726146 -123.030395 81.203100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41726879-1.41726146) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41726879-1.41726146) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14733342--2.14728548) × cos(1.41726879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152925121832155 × 6371000     		do = 46.7072685001454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14733342--2.14728548) × cos(1.41726146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152932365610964 × 6371000     		du = 46.7094809366486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41726879)-sin(1.41726146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152925121832155-0.152932365610964)×R²
    abs(-2.14728548--2.14733342)×7.24377880914617e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24377880914617e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24377880914617e-06×40589641000000     		ar = 2181.25447551535m²