Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20741 / 11515
↖ ↑ ↗
← N 81.415983°
W123.033142°		 ← 45.59 m → N 81.415983°
W123.030395°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
N 81.415574°
W123.033142°		 ← 45.59 m →
2 077 m²		 N 81.415574°
W123.030395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158245086669922 y=0.0878562927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158245086669922 × 217)
    floor (0.158245086669922 × 131072)
    floor (20741.5)     		tx = 20741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0878562927246094 × 217)
    floor (0.0878562927246094 × 131072)
    floor (11515.5)     		ty = 11515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20741 / 11515 ti = "17/20741/11515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20741/11515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20741 ÷ 217
    20741 ÷ 131072     		x = 0.158241271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11515 ÷ 217
    11515 ÷ 131072     		y = 0.0878524780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158241271972656 × 2 - 1) × π
    -0.683517456054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.14733342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0878524780273438 × 2 - 1) × π
    0.824295043945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.58959925437505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14733342} λ = -2.14733342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58959925437505))-π/2
    2×atan(13.3244308257623)-π/2
    2×1.49588664949988-π/2
    2.99177329899975-1.57079632675     		φ = 1.42097697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14733342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.033142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42097697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.415983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20741 KachelY 11515 -2.14733342 1.42097697 -123.033142 81.415983
    Oben rechts KachelX + 1 20742 KachelY 11515 -2.14728548 1.42097697 -123.030395 81.415983
    Unten links KachelX 20741 KachelY + 1 11516 -2.14733342 1.42096982 -123.033142 81.415574
    Unten rechts KachelX + 1 20742 KachelY + 1 11516 -2.14728548 1.42096982 -123.030395 81.415574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42097697-1.42096982) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dl = 45.5526499990111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42097697-1.42096982) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dr = 45.5526499990111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14733342--2.14728548) × cos(1.42097697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149259515259709 × 6371000     		do = 45.5876979002079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14733342--2.14728548) × cos(1.42096982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149266585161999 × 6371000     		du = 45.5898572303468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42097697)-sin(1.42096982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149259515259709-0.149266585161999)×R²
    abs(-2.14728548--2.14733342)×7.06990229057403e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06990229057403e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06990229057403e-06×40589641000000     		ar = 2076.68962846048m²