Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20738 / 5382
↖ ↑ ↗
← N 76.169246°
E 47.834472°		 ← 292.04 m → N 76.169246°
E 47.845459°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
N 76.166619°
E 47.834472°		 ← 292.09 m →
85 315 m²		 N 76.166619°
E 47.845459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632888793945312 y=0.164260864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632888793945312 × 215)
    floor (0.632888793945312 × 32768)
    floor (20738.5)     		tx = 20738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164260864257812 × 215)
    floor (0.164260864257812 × 32768)
    floor (5382.5)     		ty = 5382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20738 / 5382 ti = "15/20738/5382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20738/5382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20738 ÷ 215
    20738 ÷ 32768     		x = 0.63287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5382 ÷ 215
    5382 ÷ 32768     		y = 0.16424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63287353515625 × 2 - 1) × π
    0.2657470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83486904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16424560546875 × 2 - 1) × π
    0.6715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10960707847943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83486904} λ = 0.83486904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10960707847943))-π/2
    2×atan(8.24500100974764)-π/2
    2×1.45010023139493-π/2
    2.90020046278987-1.57079632675     		φ = 1.32940414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83486904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.834472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32940414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.169246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20738 KachelY 5382 0.83486904 1.32940414 47.834472 76.169246
    Oben rechts KachelX + 1 20739 KachelY 5382 0.83506079 1.32940414 47.845459 76.169246
    Unten links KachelX 20738 KachelY + 1 5383 0.83486904 1.32935829 47.834472 76.166619
    Unten rechts KachelX + 1 20739 KachelY + 1 5383 0.83506079 1.32935829 47.845459 76.166619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32940414-1.32935829) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32940414-1.32935829) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83486904-0.83506079) × cos(1.32940414) × R
    0.000191750000000046 × 0.239054679536591 × 6371000     		do = 292.038579418142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83486904-0.83506079) × cos(1.32935829) × R
    0.000191750000000046 × 0.239099199915317 × 6371000     		du = 292.092967260218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32940414)-sin(1.32935829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239054679536591-0.239099199915317)×R²
    abs(0.83506079-0.83486904)×4.45203787258208e-05×R²
    0.000191750000000046×4.45203787258208e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.45203787258208e-05×40589641000000     		ar = 85315.4352887096m²