Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20738 / 5375
↖ ↑ ↗
← N 76.187618°
E 47.834472°		 ← 291.66 m → N 76.187618°
E 47.845459°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
N 76.184995°
E 47.834472°		 ← 291.71 m →
85 074 m²		 N 76.184995°
E 47.845459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632888793945312 y=0.164047241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632888793945312 × 215)
    floor (0.632888793945312 × 32768)
    floor (20738.5)     		tx = 20738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164047241210938 × 215)
    floor (0.164047241210938 × 32768)
    floor (5375.5)     		ty = 5375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20738 / 5375 ti = "15/20738/5375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20738/5375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20738 ÷ 215
    20738 ÷ 32768     		x = 0.63287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5375 ÷ 215
    5375 ÷ 32768     		y = 0.164031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63287353515625 × 2 - 1) × π
    0.2657470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83486904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164031982421875 × 2 - 1) × π
    0.67193603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11094931166879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83486904} λ = 0.83486904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11094931166879))-π/2
    2×atan(8.25607515412872)-π/2
    2×1.45026056045481-π/2
    2.90052112090961-1.57079632675     		φ = 1.32972479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83486904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.834472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32972479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.187618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20738 KachelY 5375 0.83486904 1.32972479 47.834472 76.187618
    Oben rechts KachelX + 1 20739 KachelY 5375 0.83506079 1.32972479 47.845459 76.187618
    Unten links KachelX 20738 KachelY + 1 5376 0.83486904 1.32967901 47.834472 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 20739 KachelY + 1 5376 0.83506079 1.32967901 47.845459 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32972479-1.32967901) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dl = 291.66437999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32972479-1.32967901) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dr = 291.66437999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83486904-0.83506079) × cos(1.32972479) × R
    0.000191750000000046 × 0.238743314144284 × 6371000     		do = 291.658203233808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83486904-0.83506079) × cos(1.32967901) × R
    0.000191750000000046 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 291.712512326024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32972479)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238743314144284-0.238787770060559)×R²
    abs(0.83506079-0.83486904)×4.44559162749991e-05×R²
    0.000191750000000046×4.44559162749991e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.44559162749991e-05×40589641000000     		ar = 85074.2290468432m²