Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20738 / 30461
↖ ↑ ↗
← N 68.913970°
W123.041382°		 ← 109.88 m → N 68.913970°
W123.038635°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 68.912981°
W123.041382°		 ← 109.89 m →
12 076 m²		 N 68.912981°
W123.038635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158222198486328 y=0.232402801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158222198486328 × 217)
    floor (0.158222198486328 × 131072)
    floor (20738.5)     		tx = 20738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232402801513672 × 217)
    floor (0.232402801513672 × 131072)
    floor (30461.5)     		ty = 30461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20738 / 30461 ti = "17/20738/30461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20738/30461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20738 ÷ 217
    20738 ÷ 131072     		x = 0.158218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30461 ÷ 217
    30461 ÷ 131072     		y = 0.232398986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.683563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14747723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232398986816406 × 2 - 1) × π
    0.535202026367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.68138675417347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14747723} λ = -2.14747723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68138675417347))-π/2
    2×atan(5.37300183985943)-π/2
    2×1.38678599717086-π/2
    2.77357199434172-1.57079632675     		φ = 1.20277567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14747723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.041382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20277567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.913970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20738 KachelY 30461 -2.14747723 1.20277567 -123.041382 68.913970
    Oben rechts KachelX + 1 20739 KachelY 30461 -2.14742929 1.20277567 -123.038635 68.913970
    Unten links KachelX 20738 KachelY + 1 30462 -2.14747723 1.20275842 -123.041382 68.912981
    Unten rechts KachelX + 1 20739 KachelY + 1 30462 -2.14742929 1.20275842 -123.038635 68.912981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20277567-1.20275842) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20277567-1.20275842) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14747723--2.14742929) × cos(1.20277567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359769329005334 × 6371000     		do = 109.882813540685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14747723--2.14742929) × cos(1.20275842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359785423913884 × 6371000     		du = 109.88772934004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20277567)-sin(1.20275842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359769329005334-0.359785423913884)×R²
    abs(-2.14742929--2.14747723)×1.6094908549702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6094908549702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6094908549702e-05×40589641000000     		ar = 12076.3638603422m²