Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20737 / 30468
↖ ↑ ↗
← N 68.907052°
W123.044129°		 ← 109.92 m → N 68.907052°
W123.041382°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 68.906063°
W123.044129°		 ← 109.92 m →
12 087 m²		 N 68.906063°
W123.041382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158214569091797 y=0.232456207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158214569091797 × 217)
    floor (0.158214569091797 × 131072)
    floor (20737.5)     		tx = 20737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232456207275391 × 217)
    floor (0.232456207275391 × 131072)
    floor (30468.5)     		ty = 30468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20737 / 30468 ti = "17/20737/30468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20737/30468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20737 ÷ 217
    20737 ÷ 131072     		x = 0.158210754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30468 ÷ 217
    30468 ÷ 131072     		y = 0.232452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158210754394531 × 2 - 1) × π
    -0.683578491210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.14752517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232452392578125 × 2 - 1) × π
    0.53509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68105119587613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14752517} λ = -2.14752517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68105119587613))-π/2
    2×atan(5.37119918697492)-π/2
    2×1.38672562592857-π/2
    2.77345125185714-1.57079632675     		φ = 1.20265493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14752517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.044129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20265493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.907052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20737 KachelY 30468 -2.14752517 1.20265493 -123.044129 68.907052
    Oben rechts KachelX + 1 20738 KachelY 30468 -2.14747723 1.20265493 -123.041382 68.907052
    Unten links KachelX 20737 KachelY + 1 30469 -2.14752517 1.20263767 -123.044129 68.906063
    Unten rechts KachelX + 1 20738 KachelY + 1 30469 -2.14747723 1.20263767 -123.041382 68.906063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20265493-1.20263767) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20265493-1.20263767) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14752517--2.14747723) × cos(1.20265493) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.359881981786804 × 6371000     		do = 109.917220600847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14752517--2.14747723) × cos(1.20263767) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.359898085275821 × 6371000     		du = 109.922139020897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20265493)-sin(1.20263767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359881981786804-0.359898085275821)×R²
    abs(-2.14747723--2.14752517)×1.61034890168166e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.61034890168166e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.61034890168166e-05×40589641000000     		ar = 12087.1483143821m²