Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20737 / 12031
↖ ↑ ↗
← N 81.201840°
W123.044129°		 ← 46.72 m → N 81.201840°
W123.041382°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
N 81.201420°
W123.044129°		 ← 46.72 m →
2 182 m²		 N 81.201420°
W123.041382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158214569091797 y=0.0917930603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158214569091797 × 217)
    floor (0.158214569091797 × 131072)
    floor (20737.5)     		tx = 20737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0917930603027344 × 217)
    floor (0.0917930603027344 × 131072)
    floor (12031.5)     		ty = 12031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20737 / 12031 ti = "17/20737/12031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20737/12031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20737 ÷ 217
    20737 ÷ 131072     		x = 0.158210754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12031 ÷ 217
    12031 ÷ 131072     		y = 0.0917892456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158210754394531 × 2 - 1) × π
    -0.683578491210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.14752517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0917892456054688 × 2 - 1) × π
    0.816421508789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.5648638141711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14752517} λ = -2.14752517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5648638141711))-π/2
    2×atan(12.9988879847878)-π/2
    2×1.49401789370287-π/2
    2.98803578740574-1.57079632675     		φ = 1.41723946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14752517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.044129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41723946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.201840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20737 KachelY 12031 -2.14752517 1.41723946 -123.044129 81.201840
    Oben rechts KachelX + 1 20738 KachelY 12031 -2.14747723 1.41723946 -123.041382 81.201840
    Unten links KachelX 20737 KachelY + 1 12032 -2.14752517 1.41723213 -123.044129 81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 20738 KachelY + 1 12032 -2.14747723 1.41723213 -123.041382 81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41723946-1.41723213) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41723946-1.41723213) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14752517--2.14747723) × cos(1.41723946) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152954106780421 × 6371000     		do = 46.7161212498512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14752517--2.14747723) × cos(1.41723213) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 46.7183336763117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41723946)-sin(1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152954106780421-0.152961350526349)×R²
    abs(-2.14747723--2.14752517)×7.24374592803168e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.24374592803168e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.24374592803168e-06×40589641000000     		ar = 2181.66789375343m²