Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20736 / 36608
↖ ↑ ↗
← N 61.938950°
W123.046875°		 ← 143.65 m → N 61.938950°
W123.044129°		 →
↑
143.67 m
↓
↑
143.67 m
↓
N 61.937658°
W123.046875°		 ← 143.65 m →
20 637 m²		 N 61.937658°
W123.044129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158206939697266 y=0.279300689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158206939697266 × 217)
    floor (0.158206939697266 × 131072)
    floor (20736.5)     		tx = 20736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279300689697266 × 217)
    floor (0.279300689697266 × 131072)
    floor (36608.5)     		ty = 36608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20736 / 36608 ti = "17/20736/36608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20736/36608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20736 ÷ 217
    20736 ÷ 131072     		x = 0.158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36608 ÷ 217
    36608 ÷ 131072     		y = 0.279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158203125 × 2 - 1) × π
    -0.68359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14757310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279296875 × 2 - 1) × π
    0.44140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.38671863220898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14757310} λ = -2.14757310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38671863220898))-π/2
    2×atan(4.00169744441921)-π/2
    2×1.32591747347551-π/2
    2.65183494695103-1.57079632675     		φ = 1.08103862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14757310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08103862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.938950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20736 KachelY 36608 -2.14757310 1.08103862 -123.046875 61.938950
    Oben rechts KachelX + 1 20737 KachelY 36608 -2.14752517 1.08103862 -123.044129 61.938950
    Unten links KachelX 20736 KachelY + 1 36609 -2.14757310 1.08101607 -123.046875 61.937658
    Unten rechts KachelX + 1 20737 KachelY + 1 36609 -2.14752517 1.08101607 -123.044129 61.937658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08103862-1.08101607) × R
    2.25499999999546e-05 × 6371000     		dl = 143.66604999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08103862-1.08101607) × R
    2.25499999999546e-05 × 6371000     		dr = 143.66604999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14757310--2.14752517) × cos(1.08103862) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.470412091102688 × 6371000     		do = 143.645991074419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14757310--2.14752517) × cos(1.08101607) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.470431990159825 × 6371000     		du = 143.652067490901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08103862)-sin(1.08101607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470412091102688-0.470431990159825)×R²
    abs(-2.14752517--2.14757310)×1.98990571372293e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.98990571372293e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.98990571372293e-05×40589641000000     		ar = 20637.4886242575m²