Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20736 / 12034
↖ ↑ ↗
← N 81.200579°
W123.046875°		 ← 46.71 m → N 81.200579°
W123.044129°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
N 81.200159°
W123.046875°		 ← 46.72 m →
2 182 m²		 N 81.200159°
W123.044129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158206939697266 y=0.0918159484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158206939697266 × 217)
    floor (0.158206939697266 × 131072)
    floor (20736.5)     		tx = 20736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0918159484863281 × 217)
    floor (0.0918159484863281 × 131072)
    floor (12034.5)     		ty = 12034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20736 / 12034 ti = "17/20736/12034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20736/12034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20736 ÷ 217
    20736 ÷ 131072     		x = 0.158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12034 ÷ 217
    12034 ÷ 131072     		y = 0.0918121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158203125 × 2 - 1) × π
    -0.68359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14757310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0918121337890625 × 2 - 1) × π
    0.816375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56472000347224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14757310} λ = -2.14757310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56472000347224))-π/2
    2×atan(12.9970187400342)-π/2
    2×1.49400689470286-π/2
    2.98801378940572-1.57079632675     		φ = 1.41721746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14757310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41721746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.200579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20736 KachelY 12034 -2.14757310 1.41721746 -123.046875 81.200579
    Oben rechts KachelX + 1 20737 KachelY 12034 -2.14752517 1.41721746 -123.044129 81.200579
    Unten links KachelX 20736 KachelY + 1 12035 -2.14757310 1.41721013 -123.046875 81.200159
    Unten rechts KachelX + 1 20737 KachelY + 1 12035 -2.14752517 1.41721013 -123.044129 81.200159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41721746-1.41721013) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41721746-1.41721013) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14757310--2.14752517) × cos(1.41721746) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.152975847875848 × 6371000     		do = 46.713015447936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14757310--2.14752517) × cos(1.41721013) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.152983091597109 × 6371000     		du = 46.7152274053648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41721746)-sin(1.41721013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152975847875848-0.152983091597109)×R²
    abs(-2.14752517--2.14757310)×7.24372126031936e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.24372126031936e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.24372126031936e-06×40589641000000     		ar = 2181.52284350583m²