Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20735 / 30465
↖ ↑ ↗
← N 68.910017°
W123.049622°		 ← 109.90 m → N 68.910017°
W123.046875°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 68.909028°
W123.049622°		 ← 109.91 m →
12 079 m²		 N 68.909028°
W123.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158199310302734 y=0.232433319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158199310302734 × 217)
    floor (0.158199310302734 × 131072)
    floor (20735.5)     		tx = 20735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232433319091797 × 217)
    floor (0.232433319091797 × 131072)
    floor (30465.5)     		ty = 30465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20735 / 30465 ti = "17/20735/30465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20735/30465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20735 ÷ 217
    20735 ÷ 131072     		x = 0.158195495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30465 ÷ 217
    30465 ÷ 131072     		y = 0.232429504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158195495605469 × 2 - 1) × π
    -0.683609008789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.14762104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232429504394531 × 2 - 1) × π
    0.535140991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.68119500657499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14762104} λ = -2.14762104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68119500657499))-π/2
    2×atan(5.37197167842866)-π/2
    2×1.38675150163257-π/2
    2.77350300326514-1.57079632675     		φ = 1.20270668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14762104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.049622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20270668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.910017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20735 KachelY 30465 -2.14762104 1.20270668 -123.049622 68.910017
    Oben rechts KachelX + 1 20736 KachelY 30465 -2.14757310 1.20270668 -123.046875 68.910017
    Unten links KachelX 20735 KachelY + 1 30466 -2.14762104 1.20268943 -123.049622 68.909028
    Unten rechts KachelX + 1 20736 KachelY + 1 30466 -2.14757310 1.20268943 -123.046875 68.909028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20270668-1.20268943) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20270668-1.20268943) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14762104--2.14757310) × cos(1.20270668) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.359833698666997 × 6371000     		do = 109.902473693251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14762104--2.14757310) × cos(1.20268943) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.359849793147346 × 6371000     		du = 109.907389361821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20270668)-sin(1.20268943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359833698666997-0.359849793147346)×R²
    abs(-2.14757310--2.14762104)×1.60944803483942e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.60944803483942e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.60944803483942e-05×40589641000000     		ar = 12078.5244990957m²