Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20735 / 23811
↖ ↑ ↗
← S 62.930236°
E 47.801514°		 ← 555.94 m → S 62.930236°
E 47.812500°		 →
↑
555.87 m
↓
↑
555.87 m
↓
S 62.935235°
E 47.801514°		 ← 555.84 m →
309 002 m²		 S 62.935235°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632797241210938 y=0.726669311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632797241210938 × 215)
    floor (0.632797241210938 × 32768)
    floor (20735.5)     		tx = 20735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726669311523438 × 215)
    floor (0.726669311523438 × 32768)
    floor (23811.5)     		ty = 23811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20735 / 23811 ti = "15/20735/23811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20735/23811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20735 ÷ 215
    20735 ÷ 32768     		x = 0.632781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23811 ÷ 215
    23811 ÷ 32768     		y = 0.726654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632781982421875 × 2 - 1) × π
    0.26556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83429380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.45330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42410941391263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83429380} λ = 0.83429380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42410941391263))-π/2
    2×atan(0.240722752106763)-π/2
    2×0.236228257453805-π/2
    0.47245651490761-1.57079632675     		φ = -1.09833981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83429380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09833981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.930236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20735 KachelY 23811 0.83429380 -1.09833981 47.801514 -62.930236
    Oben rechts KachelX + 1 20736 KachelY 23811 0.83448555 -1.09833981 47.812500 -62.930236
    Unten links KachelX 20735 KachelY + 1 23812 0.83429380 -1.09842706 47.801514 -62.935235
    Unten rechts KachelX + 1 20736 KachelY + 1 23812 0.83448555 -1.09842706 47.812500 -62.935235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09833981--1.09842706) × R
    8.72499999999832e-05 × 6371000     		dl = 555.869749999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09833981--1.09842706) × R
    8.72499999999832e-05 × 6371000     		dr = 555.869749999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83429380-0.83448555) × cos(-1.09833981) × R
    0.000191750000000046 × 0.455075069185339 × 6371000     		do = 555.937566213409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83429380-0.83448555) × cos(-1.09842706) × R
    0.000191750000000046 × 0.454997375422371 × 6371000     		du = 555.842652463087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09833981)-sin(-1.09842706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455075069185339-0.454997375422371)×R²
    abs(0.83448555-0.83429380)×7.76937629676233e-05×R²
    0.000191750000000046×7.76937629676233e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.76937629676233e-05×40589641000000     		ar = 309002.496300828m²