Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20734 / 5381
↖ ↑ ↗
← N 76.171872°
E 47.790527°		 ← 291.98 m → N 76.171872°
E 47.801514°		 →
↑
291.98 m
↓
↑
291.98 m
↓
N 76.169246°
E 47.790527°		 ← 292.04 m →
85 262 m²		 N 76.169246°
E 47.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632766723632812 y=0.164230346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632766723632812 × 215)
    floor (0.632766723632812 × 32768)
    floor (20734.5)     		tx = 20734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164230346679688 × 215)
    floor (0.164230346679688 × 32768)
    floor (5381.5)     		ty = 5381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20734 / 5381 ti = "15/20734/5381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20734/5381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20734 ÷ 215
    20734 ÷ 32768     		x = 0.63275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5381 ÷ 215
    5381 ÷ 32768     		y = 0.164215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164215087890625 × 2 - 1) × π
    0.67156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10979882607791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83410205} λ = 0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10979882607791))-π/2
    2×atan(8.24658212047298)-π/2
    2×1.45012314834215-π/2
    2.90024629668431-1.57079632675     		φ = 1.32944997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32944997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.171872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20734 KachelY 5381 0.83410205 1.32944997 47.790527 76.171872
    Oben rechts KachelX + 1 20735 KachelY 5381 0.83429380 1.32944997 47.801514 76.171872
    Unten links KachelX 20734 KachelY + 1 5382 0.83410205 1.32940414 47.790527 76.169246
    Unten rechts KachelX + 1 20735 KachelY + 1 5382 0.83429380 1.32940414 47.801514 76.169246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32944997-1.32940414) × R
    4.58299999999134e-05 × 6371000     		dl = 291.982929999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32944997-1.32940414) × R
    4.58299999999134e-05 × 6371000     		dr = 291.982929999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83410205-0.83429380) × cos(1.32944997) × R
    0.000191749999999935 × 0.23901017807566 × 6371000     		do = 291.984214686617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83410205-0.83429380) × cos(1.32940414) × R
    0.000191749999999935 × 0.239054679536591 × 6371000     		du = 292.038579417972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32944997)-sin(1.32940414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23901017807566-0.239054679536591)×R²
    abs(0.83429380-0.83410205)×4.45014609305461e-05×R²
    0.000191749999999935×4.45014609305461e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.45014609305461e-05×40589641000000     		ar = 85262.343319252m²