Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20734 / 5378
↖ ↑ ↗
← N 76.179748°
E 47.790527°		 ← 291.82 m → N 76.179748°
E 47.801514°		 →
↑
291.86 m
↓
↑
291.86 m
↓
N 76.177123°
E 47.790527°		 ← 291.88 m →
85 178 m²		 N 76.177123°
E 47.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632766723632812 y=0.164138793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632766723632812 × 215)
    floor (0.632766723632812 × 32768)
    floor (20734.5)     		tx = 20734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164138793945312 × 215)
    floor (0.164138793945312 × 32768)
    floor (5378.5)     		ty = 5378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20734 / 5378 ti = "15/20734/5378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20734/5378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20734 ÷ 215
    20734 ÷ 32768     		x = 0.63275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5378 ÷ 215
    5378 ÷ 32768     		y = 0.16412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16412353515625 × 2 - 1) × π
    0.6717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11037406887335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83410205} λ = 0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11037406887335))-π/2
    2×atan(8.25132727210108)-π/2
    2×1.45019187358772-π/2
    2.90038374717544-1.57079632675     		φ = 1.32958742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32958742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.179748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20734 KachelY 5378 0.83410205 1.32958742 47.790527 76.179748
    Oben rechts KachelX + 1 20735 KachelY 5378 0.83429380 1.32958742 47.801514 76.179748
    Unten links KachelX 20734 KachelY + 1 5379 0.83410205 1.32954161 47.790527 76.177123
    Unten rechts KachelX + 1 20735 KachelY + 1 5379 0.83429380 1.32954161 47.801514 76.177123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32958742-1.32954161) × R
    4.5810000000035e-05 × 6371000     		dl = 291.855510000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32958742-1.32954161) × R
    4.5810000000035e-05 × 6371000     		dr = 291.855510000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83410205-0.83429380) × cos(1.32958742) × R
    0.000191749999999935 × 0.238876709523153 × 6371000     		do = 291.821164264233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83410205-0.83429380) × cos(1.32954161) × R
    0.000191749999999935 × 0.238921193068629 × 6371000     		du = 291.875507109366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32958742)-sin(1.32954161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238876709523153-0.238921193068629)×R²
    abs(0.83429380-0.83410205)×4.44835454760928e-05×R²
    0.000191749999999935×4.44835454760928e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.44835454760928e-05×40589641000000     		ar = 85177.5448695564m²