Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20734 / 12606
↖ ↑ ↗
← N 80.956962°
W123.052368°		 ← 48.01 m → N 80.956962°
W123.049622°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.956531°
W123.052368°		 ← 48.01 m →
2 303 m²		 N 80.956531°
W123.049622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158191680908203 y=0.0961799621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158191680908203 × 217)
    floor (0.158191680908203 × 131072)
    floor (20734.5)     		tx = 20734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961799621582031 × 217)
    floor (0.0961799621582031 × 131072)
    floor (12606.5)     		ty = 12606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20734 / 12606 ti = "17/20734/12606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20734/12606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20734 ÷ 217
    20734 ÷ 131072     		x = 0.158187866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12606 ÷ 217
    12606 ÷ 131072     		y = 0.0961761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158187866210938 × 2 - 1) × π
    -0.683624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14766898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0961761474609375 × 2 - 1) × π
    0.807647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53730009688957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14766898} λ = -2.14766898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53730009688957))-π/2
    2×atan(12.6454832602611)-π/2
    2×1.49188093562793-π/2
    2.98376187125585-1.57079632675     		φ = 1.41296554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14766898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.052368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41296554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.956962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20734 KachelY 12606 -2.14766898 1.41296554 -123.052368 80.956962
    Oben rechts KachelX + 1 20735 KachelY 12606 -2.14762104 1.41296554 -123.049622 80.956962
    Unten links KachelX 20734 KachelY + 1 12607 -2.14766898 1.41295801 -123.052368 80.956531
    Unten rechts KachelX + 1 20735 KachelY + 1 12607 -2.14762104 1.41295801 -123.049622 80.956531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41296554-1.41295801) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41296554-1.41295801) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14766898--2.14762104) × cos(1.41296554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157176326999537 × 6371000     		do = 48.0056959842842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14766898--2.14762104) × cos(1.41295801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157183763401365 × 6371000     		du = 48.0079672528153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41296554)-sin(1.41295801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157176326999537-0.157183763401365)×R²
    abs(-2.14762104--2.14766898)×7.43640182734873e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43640182734873e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43640182734873e-06×40589641000000     		ar = 2303.06197764816m²