Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20732 / 12548
↖ ↑ ↗
← N 80.981966°
W123.057861°		 ← 47.87 m → N 80.981966°
W123.055115°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
N 80.981536°
W123.057861°		 ← 47.88 m →
2 294 m²		 N 80.981536°
W123.055115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158176422119141 y=0.0957374572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158176422119141 × 217)
    floor (0.158176422119141 × 131072)
    floor (20732.5)     		tx = 20732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0957374572753906 × 217)
    floor (0.0957374572753906 × 131072)
    floor (12548.5)     		ty = 12548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20732 / 12548 ti = "17/20732/12548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20732/12548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20732 ÷ 217
    20732 ÷ 131072     		x = 0.158172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12548 ÷ 217
    12548 ÷ 131072     		y = 0.095733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.68365478515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14776485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095733642578125 × 2 - 1) × π
    0.80853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54008043706754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14776485} λ = -2.14776485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54008043706754))-π/2
    2×atan(12.6806909274047)-π/2
    2×1.49209913773854-π/2
    2.98419827547707-1.57079632675     		φ = 1.41340195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14776485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.057861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41340195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.981966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20732 KachelY 12548 -2.14776485 1.41340195 -123.057861 80.981966
    Oben rechts KachelX + 1 20733 KachelY 12548 -2.14771691 1.41340195 -123.055115 80.981966
    Unten links KachelX 20732 KachelY + 1 12549 -2.14776485 1.41339443 -123.057861 80.981536
    Unten rechts KachelX + 1 20733 KachelY + 1 12549 -2.14771691 1.41339443 -123.055115 80.981536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41340195-1.41339443) × R
    7.51999999981656e-06 × 6371000     		dl = 47.9099199988313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41340195-1.41339443) × R
    7.51999999981656e-06 × 6371000     		dr = 47.9099199988313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14776485--2.14771691) × cos(1.41340195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156745326379656 × 6371000     		do = 47.8740573010165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14776485--2.14771691) × cos(1.41339443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156752753420916 × 6371000     		du = 47.8763257105894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41340195)-sin(1.41339443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156745326379656-0.156752753420916)×R²
    abs(-2.14771691--2.14776485)×7.427041260194e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.427041260194e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.427041260194e-06×40589641000000     		ar = 2293.69659502952m²