Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20730 / 12602
↖ ↑ ↗
← N 80.958689°
W123.063354°		 ← 47.99 m → N 80.958689°
W123.060608°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.958257°
W123.063354°		 ← 47.99 m →
2 302 m²		 N 80.958257°
W123.060608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158161163330078 y=0.0961494445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158161163330078 × 217)
    floor (0.158161163330078 × 131072)
    floor (20730.5)     		tx = 20730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961494445800781 × 217)
    floor (0.0961494445800781 × 131072)
    floor (12602.5)     		ty = 12602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20730 / 12602 ti = "17/20730/12602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20730/12602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20730 ÷ 217
    20730 ÷ 131072     		x = 0.158157348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12602 ÷ 217
    12602 ÷ 131072     		y = 0.0961456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158157348632812 × 2 - 1) × π
    -0.683685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14786072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0961456298828125 × 2 - 1) × π
    0.807708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53749184448805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14786072} λ = -2.14786072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53749184448805))-π/2
    2×atan(12.6479082337919)-π/2
    2×1.49189600329244-π/2
    2.98379200658487-1.57079632675     		φ = 1.41299568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14786072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.063354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41299568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.958689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20730 KachelY 12602 -2.14786072 1.41299568 -123.063354 80.958689
    Oben rechts KachelX + 1 20731 KachelY 12602 -2.14781279 1.41299568 -123.060608 80.958689
    Unten links KachelX 20730 KachelY + 1 12603 -2.14786072 1.41298815 -123.063354 80.958257
    Unten rechts KachelX + 1 20731 KachelY + 1 12603 -2.14781279 1.41298815 -123.060608 80.958257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41299568-1.41298815) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41299568-1.41298815) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14786072--2.14781279) × cos(1.41299568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157146561551606 × 6371000     		do = 47.9865930429477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14786072--2.14781279) × cos(1.41298815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157153997989103 × 6371000     		du = 47.9888638485977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41299568)-sin(1.41298815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157146561551606-0.157153997989103)×R²
    abs(-2.14781279--2.14786072)×7.43643749664957e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.43643749664957e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.43643749664957e-06×40589641000000     		ar = 2302.14552906084m²