Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2073 / 1639
↖ ↑ ↗
← N 80.735886°
W134.450684°		 ← 393.32 m → N 80.735886°
W134.428711°		 →
↑
393.35 m
↓
↑
393.35 m
↓
N 80.732349°
W134.450684°		 ← 393.47 m →
154 741 m²		 N 80.732349°
W134.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126556396484375 y=0.100067138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126556396484375 × 214)
    floor (0.126556396484375 × 16384)
    floor (2073.5)     		tx = 2073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100067138671875 × 214)
    floor (0.100067138671875 × 16384)
    floor (1639.5)     		ty = 1639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2073 / 1639 ti = "14/2073/1639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2073/1639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2073 ÷ 214
    2073 ÷ 16384     		x = 0.12652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1639 ÷ 214
    1639 ÷ 16384     		y = 0.10003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.7469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34660711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10003662109375 × 2 - 1) × π
    0.7999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51304402568182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34660711} λ = -2.34660711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51304402568182))-π/2
    2×atan(12.3424436508268)-π/2
    2×1.48995168535448-π/2
    2.97990337070896-1.57079632675     		φ = 1.40910704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34660711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.450684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40910704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.735886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2073 KachelY 1639 -2.34660711 1.40910704 -134.450684 80.735886
    Oben rechts KachelX + 1 2074 KachelY 1639 -2.34622362 1.40910704 -134.428711 80.735886
    Unten links KachelX 2073 KachelY + 1 1640 -2.34660711 1.40904530 -134.450684 80.732349
    Unten rechts KachelX + 1 2074 KachelY + 1 1640 -2.34622362 1.40904530 -134.428711 80.732349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40910704-1.40904530) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dl = 393.345540000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40910704-1.40904530) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dr = 393.345540000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34660711--2.34622362) × cos(1.40910704) × R
    0.000383489999999931 × 0.160985688512104 × 6371000     		do = 393.322615151034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34660711--2.34622362) × cos(1.40904530) × R
    0.000383489999999931 × 0.161046622914414 × 6371000     		du = 393.471490983977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40910704)-sin(1.40904530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160985688512104-0.161046622914414)×R²
    abs(-2.34622362--2.34660711)×6.09344023098368e-05×R²
    0.000383489999999931×6.09344023098368e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.09344023098368e-05×40589641000000     		ar = 154740.976322371m²