Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20729 / 30440
↖ ↑ ↗
← N 68.934711°
W123.066101°		 ← 109.78 m → N 68.934711°
W123.063354°		 →
↑
109.77 m
↓
↑
109.77 m
↓
N 68.933723°
W123.066101°		 ← 109.78 m →
12 051 m²		 N 68.933723°
W123.063354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158153533935547 y=0.232242584228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158153533935547 × 217)
    floor (0.158153533935547 × 131072)
    floor (20729.5)     		tx = 20729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232242584228516 × 217)
    floor (0.232242584228516 × 131072)
    floor (30440.5)     		ty = 30440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20729 / 30440 ti = "17/20729/30440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20729/30440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20729 ÷ 217
    20729 ÷ 131072     		x = 0.158149719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30440 ÷ 217
    30440 ÷ 131072     		y = 0.23223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158149719238281 × 2 - 1) × π
    -0.683700561523438 × 3.1415926535     		Λ = -2.14790866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23223876953125 × 2 - 1) × π
    0.5355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68239342906549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14790866} λ = -2.14790866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68239342906549))-π/2
    2×atan(5.37841342930501)-π/2
    2×1.38696699752593-π/2
    2.77393399505186-1.57079632675     		φ = 1.20313767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14790866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.066101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20313767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.934711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20729 KachelY 30440 -2.14790866 1.20313767 -123.066101 68.934711
    Oben rechts KachelX + 1 20730 KachelY 30440 -2.14786072 1.20313767 -123.063354 68.934711
    Unten links KachelX 20729 KachelY + 1 30441 -2.14790866 1.20312044 -123.066101 68.933723
    Unten rechts KachelX + 1 20730 KachelY + 1 30441 -2.14786072 1.20312044 -123.063354 68.933723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20313767-1.20312044) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dl = 109.772330000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20313767-1.20312044) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dr = 109.772330000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14790866--2.14786072) × cos(1.20313767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359431544496599 × 6371000     		do = 109.779645457145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14790866--2.14786072) × cos(1.20312044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359447622987419 × 6371000     		du = 109.784556242101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20313767)-sin(1.20312044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359431544496599-0.359447622987419)×R²
    abs(-2.14786072--2.14790866)×1.60784908198042e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60784908198042e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60784908198042e-05×40589641000000     		ar = 12051.0370029086m²