Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20724 / 11548
↖ ↑ ↗
← N 81.402444°
W123.079834°		 ← 45.66 m → N 81.402444°
W123.077087°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
N 81.402033°
W123.079834°		 ← 45.66 m →
2 086 m²		 N 81.402033°
W123.077087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158115386962891 y=0.0881080627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158115386962891 × 217)
    floor (0.158115386962891 × 131072)
    floor (20724.5)     		tx = 20724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0881080627441406 × 217)
    floor (0.0881080627441406 × 131072)
    floor (11548.5)     		ty = 11548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20724 / 11548 ti = "17/20724/11548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20724/11548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20724 ÷ 217
    20724 ÷ 131072     		x = 0.158111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11548 ÷ 217
    11548 ÷ 131072     		y = 0.088104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.68377685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14814835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088104248046875 × 2 - 1) × π
    0.82379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58801733668759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14814835} λ = -2.14814835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58801733668759))-π/2
    2×atan(13.3033693361273)-π/2
    2×1.49576849898784-π/2
    2.99153699797568-1.57079632675     		φ = 1.42074067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14814835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.079834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42074067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.402444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20724 KachelY 11548 -2.14814835 1.42074067 -123.079834 81.402444
    Oben rechts KachelX + 1 20725 KachelY 11548 -2.14810041 1.42074067 -123.077087 81.402444
    Unten links KachelX 20724 KachelY + 1 11549 -2.14814835 1.42073350 -123.079834 81.402033
    Unten rechts KachelX + 1 20725 KachelY + 1 11549 -2.14810041 1.42073350 -123.077087 81.402033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42074067-1.42073350) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42074067-1.42073350) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14814835--2.14810041) × cos(1.42074067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1494931640712 × 6371000     		do = 45.6590602613576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14814835--2.14810041) × cos(1.42073350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14950025349634 × 6371000     		du = 45.6612255542773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42074067)-sin(1.42073350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1494931640712-0.14950025349634)×R²
    abs(-2.14810041--2.14814835)×7.08942514041078e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.08942514041078e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.08942514041078e-06×40589641000000     		ar = 2085.75852422308m²