Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20723 / 10865
↖ ↑ ↗
← N 81.678389°
W123.082580°		 ← 44.19 m → N 81.678389°
W123.079834°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
N 81.677992°
W123.082580°		 ← 44.20 m →
1 954 m²		 N 81.677992°
W123.079834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158107757568359 y=0.0828971862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158107757568359 × 217)
    floor (0.158107757568359 × 131072)
    floor (20723.5)     		tx = 20723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0828971862792969 × 217)
    floor (0.0828971862792969 × 131072)
    floor (10865.5)     		ty = 10865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20723 / 10865 ti = "17/20723/10865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20723/10865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20723 ÷ 217
    20723 ÷ 131072     		x = 0.158103942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10865 ÷ 217
    10865 ÷ 131072     		y = 0.0828933715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158103942871094 × 2 - 1) × π
    -0.683792114257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.14819628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0828933715820312 × 2 - 1) × π
    0.834213256835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.62075823912809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14819628} λ = -2.14819628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62075823912809))-π/2
    2×atan(13.7461424976672)-π/2
    2×1.49817657143129-π/2
    2.99635314286257-1.57079632675     		φ = 1.42555682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14819628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.082580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42555682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.678389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20723 KachelY 10865 -2.14819628 1.42555682 -123.082580 81.678389
    Oben rechts KachelX + 1 20724 KachelY 10865 -2.14814835 1.42555682 -123.079834 81.678389
    Unten links KachelX 20723 KachelY + 1 10866 -2.14819628 1.42554988 -123.082580 81.677992
    Unten rechts KachelX + 1 20724 KachelY + 1 10866 -2.14814835 1.42554988 -123.079834 81.677992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42555682-1.42554988) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42555682-1.42554988) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14819628--2.14814835) × cos(1.42555682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144729418952011 × 6371000     		do = 44.1948691719337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14819628--2.14814835) × cos(1.42554988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.144736285879144 × 6371000     		du = 44.1969660707427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42555682)-sin(1.42554988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144729418952011-0.144736285879144)×R²
    abs(-2.14814835--2.14819628)×6.8669271323929e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.8669271323929e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.8669271323929e-06×40589641000000     		ar = 1954.11100680249m²