Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20721 / 10995
↖ ↑ ↗
← N 81.626553°
W123.088074°		 ← 44.48 m → N 81.626553°
W123.085327°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
N 81.626153°
W123.088074°		 ← 44.48 m →
1 981 m²		 N 81.626153°
W123.085327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158092498779297 y=0.0838890075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158092498779297 × 217)
    floor (0.158092498779297 × 131072)
    floor (20721.5)     		tx = 20721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0838890075683594 × 217)
    floor (0.0838890075683594 × 131072)
    floor (10995.5)     		ty = 10995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20721 / 10995 ti = "17/20721/10995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20721/10995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20721 ÷ 217
    20721 ÷ 131072     		x = 0.158088684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10995 ÷ 217
    10995 ÷ 131072     		y = 0.0838851928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158088684082031 × 2 - 1) × π
    -0.683822631835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.14829216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0838851928710938 × 2 - 1) × π
    0.832229614257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.61452644217748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14829216} λ = -2.14829216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61452644217748))-π/2
    2×atan(13.6607456929087)-π/2
    2×1.49772421608486-π/2
    2.99544843216973-1.57079632675     		φ = 1.42465211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14829216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.088074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42465211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.626553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20721 KachelY 10995 -2.14829216 1.42465211 -123.088074 81.626553
    Oben rechts KachelX + 1 20722 KachelY 10995 -2.14824422 1.42465211 -123.085327 81.626553
    Unten links KachelX 20721 KachelY + 1 10996 -2.14829216 1.42464512 -123.088074 81.626153
    Unten rechts KachelX + 1 20722 KachelY + 1 10996 -2.14824422 1.42464512 -123.085327 81.626153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42465211-1.42464512) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42465211-1.42464512) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14829216--2.14824422) × cos(1.42465211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14562454415257 × 6371000     		do = 44.4774841599321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14829216--2.14824422) × cos(1.42464512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145631459635105 × 6371000     		du = 44.4795963263029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42465211)-sin(1.42464512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14562454415257-0.145631459635105)×R²
    abs(-2.14824422--2.14829216)×6.91548253545227e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91548253545227e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91548253545227e-06×40589641000000     		ar = 1980.77573129556m²