Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20720 / 10996
↖ ↑ ↗
← N 81.626153°
W123.090820°		 ← 44.47 m → N 81.626153°
W123.088074°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
N 81.625753°
W123.090820°		 ← 44.47 m →
1 978 m²		 N 81.625753°
W123.088074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158084869384766 y=0.0838966369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158084869384766 × 217)
    floor (0.158084869384766 × 131072)
    floor (20720.5)     		tx = 20720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0838966369628906 × 217)
    floor (0.0838966369628906 × 131072)
    floor (10996.5)     		ty = 10996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20720 / 10996 ti = "17/20720/10996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20720/10996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20720 ÷ 217
    20720 ÷ 131072     		x = 0.1580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10996 ÷ 217
    10996 ÷ 131072     		y = 0.083892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14834009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083892822265625 × 2 - 1) × π
    0.83221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61447850527786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14834009} λ = -2.14834009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61447850527786))-π/2
    2×atan(13.6600908548092)-π/2
    2×1.49772072560741-π/2
    2.99544145121481-1.57079632675     		φ = 1.42464512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14834009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.090820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42464512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.626153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20720 KachelY 10996 -2.14834009 1.42464512 -123.090820 81.626153
    Oben rechts KachelX + 1 20721 KachelY 10996 -2.14829216 1.42464512 -123.088074 81.626153
    Unten links KachelX 20720 KachelY + 1 10997 -2.14834009 1.42463814 -123.090820 81.625753
    Unten rechts KachelX + 1 20721 KachelY + 1 10997 -2.14829216 1.42463814 -123.088074 81.625753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42464512-1.42463814) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42464512-1.42463814) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14834009--2.14829216) × cos(1.42464512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145631459635105 × 6371000     		do = 44.4703181460659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14834009--2.14829216) × cos(1.42463814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.145638365217146 × 6371000     		du = 44.4724268486163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42464512)-sin(1.42463814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145631459635105-0.145638365217146)×R²
    abs(-2.14829216--2.14834009)×6.90558204102798e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.90558204102798e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.90558204102798e-06×40589641000000     		ar = 1977.62325715554m²