Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20719 / 5040
↖ ↑ ↗
← N 77.039419°
E 47.625732°		 ← 273.99 m → N 77.039419°
E 47.636719°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 77.036954°
E 47.625732°		 ← 274.04 m →
75 085 m²		 N 77.036954°
E 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632308959960938 y=0.153823852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632308959960938 × 215)
    floor (0.632308959960938 × 32768)
    floor (20719.5)     		tx = 20719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153823852539062 × 215)
    floor (0.153823852539062 × 32768)
    floor (5040.5)     		ty = 5040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20719 / 5040 ti = "15/20719/5040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20719/5040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20719 ÷ 215
    20719 ÷ 32768     		x = 0.632293701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5040 ÷ 215
    5040 ÷ 32768     		y = 0.15380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632293701171875 × 2 - 1) × π
    0.26458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83122584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15380859375 × 2 - 1) × π
    0.6923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17518475715967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83122584} λ = 0.83122584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17518475715967))-π/2
    2×atan(8.80381153915112)-π/2
    2×1.45769391621412-π/2
    2.91538783242824-1.57079632675     		φ = 1.34459151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83122584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.625732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34459151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.039419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20719 KachelY 5040 0.83122584 1.34459151 47.625732 77.039419
    Oben rechts KachelX + 1 20720 KachelY 5040 0.83141759 1.34459151 47.636719 77.039419
    Unten links KachelX 20719 KachelY + 1 5041 0.83122584 1.34454850 47.625732 77.036954
    Unten rechts KachelX + 1 20720 KachelY + 1 5041 0.83141759 1.34454850 47.636719 77.036954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34459151-1.34454850) × R
    4.30100000001765e-05 × 6371000     		dl = 274.016710001125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34459151-1.34454850) × R
    4.30100000001765e-05 × 6371000     		dr = 274.016710001125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83122584-0.83141759) × cos(1.34459151) × R
    0.000191750000000046 × 0.224280648230635 × 6371000     		do = 273.990042894052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83122584-0.83141759) × cos(1.34454850) × R
    0.000191750000000046 × 0.22432256232611 × 6371000     		du = 274.041246798213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34459151)-sin(1.34454850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224280648230635-0.22432256232611)×R²
    abs(0.83141759-0.83122584)×4.19140954751041e-05×R²
    0.000191750000000046×4.19140954751041e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.19140954751041e-05×40589641000000     		ar = 75084.8655011528m²