Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 20719 / 11536
↖ ↑ ↗
← N 75.118222°
W 66.187134°		 ← 156.88 m → N 75.118222°
W 66.181640°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 75.116811°
W 66.187134°		 ← 156.90 m →
24 609 m²		 N 75.116811°
W 66.181640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.316154479980469 y=0.176033020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.316154479980469 × 216)
    floor (0.316154479980469 × 65536)
    floor (20719.5)     		tx = 20719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176033020019531 × 216)
    floor (0.176033020019531 × 65536)
    floor (11536.5)     		ty = 11536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 20719 / 11536 ti = "16/20719/11536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/20719/11536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20719 ÷ 216
    20719 ÷ 65536     		x = 0.316146850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11536 ÷ 216
    11536 ÷ 65536     		y = 0.176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.316146850585938 × 2 - 1) × π
    -0.367706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.15518341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.176025390625 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.03559250546606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15518341} λ = -1.15518341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03559250546606))-π/2
    2×atan(7.65678747016627)-π/2
    2×1.44092831460896-π/2
    2.88185662921791-1.57079632675     		φ = 1.31106030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15518341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -66.187134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31106030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.118222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20719 KachelY 11536 -1.15518341 1.31106030 -66.187134 75.118222
    Oben rechts KachelX + 1 20720 KachelY 11536 -1.15508753 1.31106030 -66.181640 75.118222
    Unten links KachelX 20719 KachelY + 1 11537 -1.15518341 1.31103568 -66.187134 75.116811
    Unten rechts KachelX + 1 20720 KachelY + 1 11537 -1.15508753 1.31103568 -66.181640 75.116811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31106030-1.31103568) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31106030-1.31103568) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15518341--1.15508753) × cos(1.31106030) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.256825441878285 × 6371000     		do = 156.882201272902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15518341--1.15508753) × cos(1.31103568) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.256849235991651 × 6371000     		du = 156.896735942266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31106030)-sin(1.31103568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256825441878285-0.256849235991651)×R²
    abs(-1.15508753--1.15518341)×2.37941133653941e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.37941133653941e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.37941133653941e-05×40589641000000     		ar = 24608.7438481734m²