Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20716 / 12533
↖ ↑ ↗
← N 80.988422°
W123.101807°		 ← 47.84 m → N 80.988422°
W123.099060°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.987992°
W123.101807°		 ← 47.84 m →
2 289 m²		 N 80.987992°
W123.099060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158054351806641 y=0.0956230163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158054351806641 × 217)
    floor (0.158054351806641 × 131072)
    floor (20716.5)     		tx = 20716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0956230163574219 × 217)
    floor (0.0956230163574219 × 131072)
    floor (12533.5)     		ty = 12533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20716 / 12533 ti = "17/20716/12533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20716/12533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20716 ÷ 217
    20716 ÷ 131072     		x = 0.158050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12533 ÷ 217
    12533 ÷ 131072     		y = 0.0956192016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.68389892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14853184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0956192016601562 × 2 - 1) × π
    0.808761596679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.54079949056184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14853184} λ = -2.14853184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54079949056184))-π/2
    2×atan(12.6898123015111)-π/2
    2×1.49215547187057-π/2
    2.98431094374114-1.57079632675     		φ = 1.41351462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14853184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.101807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41351462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.988422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20716 KachelY 12533 -2.14853184 1.41351462 -123.101807 80.988422
    Oben rechts KachelX + 1 20717 KachelY 12533 -2.14848390 1.41351462 -123.099060 80.988422
    Unten links KachelX 20716 KachelY + 1 12534 -2.14853184 1.41350711 -123.101807 80.987992
    Unten rechts KachelX + 1 20717 KachelY + 1 12534 -2.14848390 1.41350711 -123.099060 80.987992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41351462-1.41350711) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41351462-1.41350711) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14853184--2.14848390) × cos(1.41351462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156634048092678 × 6371000     		do = 47.8400700478703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14853184--2.14848390) × cos(1.41350711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156641465390146 × 6371000     		du = 47.8423354814382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41351462)-sin(1.41350711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156634048092678-0.156641465390146)×R²
    abs(-2.14848390--2.14853184)×7.41729746786546e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41729746786546e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41729746786546e-06×40589641000000     		ar = 2289.02023407634m²