Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20716 / 11508
↖ ↑ ↗
← N 81.418853°
W123.101807°		 ← 45.57 m → N 81.418853°
W123.099060°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
N 81.418443°
W123.101807°		 ← 45.57 m →
2 076 m²		 N 81.418443°
W123.099060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158054351806641 y=0.0878028869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158054351806641 × 217)
    floor (0.158054351806641 × 131072)
    floor (20716.5)     		tx = 20716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0878028869628906 × 217)
    floor (0.0878028869628906 × 131072)
    floor (11508.5)     		ty = 11508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20716 / 11508 ti = "17/20716/11508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20716/11508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20716 ÷ 217
    20716 ÷ 131072     		x = 0.158050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11508 ÷ 217
    11508 ÷ 131072     		y = 0.087799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.68389892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14853184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087799072265625 × 2 - 1) × π
    0.82440185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58993481267239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14853184} λ = -2.14853184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58993481267239))-π/2
    2×atan(13.3289026993284)-π/2
    2×1.4959116879798-π/2
    2.99182337595959-1.57079632675     		φ = 1.42102705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14853184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.101807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42102705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.418853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20716 KachelY 11508 -2.14853184 1.42102705 -123.101807 81.418853
    Oben rechts KachelX + 1 20717 KachelY 11508 -2.14848390 1.42102705 -123.099060 81.418853
    Unten links KachelX 20716 KachelY + 1 11509 -2.14853184 1.42101990 -123.101807 81.418443
    Unten rechts KachelX + 1 20717 KachelY + 1 11509 -2.14848390 1.42101990 -123.099060 81.418443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42102705-1.42101990) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42102705-1.42101990) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14853184--2.14848390) × cos(1.42102705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149209996065874 × 6371000     		do = 45.5725734637866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14853184--2.14848390) × cos(1.42101990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149217066021602 × 6371000     		du = 45.5747328102469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42102705)-sin(1.42101990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149209996065874-0.149217066021602)×R²
    abs(-2.14848390--2.14853184)×7.06995572880009e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06995572880009e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06995572880009e-06×40589641000000     		ar = 2076.00067075703m²