Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20710 / 5041
↖ ↑ ↗
← N 77.036954°
E 47.526855°		 ← 274.04 m → N 77.036954°
E 47.537842°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
N 77.034490°
E 47.526855°		 ← 274.09 m →
75 116 m²		 N 77.034490°
E 47.537842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632034301757812 y=0.153854370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632034301757812 × 215)
    floor (0.632034301757812 × 32768)
    floor (20710.5)     		tx = 20710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153854370117188 × 215)
    floor (0.153854370117188 × 32768)
    floor (5041.5)     		ty = 5041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20710 / 5041 ti = "15/20710/5041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20710/5041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20710 ÷ 215
    20710 ÷ 32768     		x = 0.63201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5041 ÷ 215
    5041 ÷ 32768     		y = 0.153839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63201904296875 × 2 - 1) × π
    0.2640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82950011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153839111328125 × 2 - 1) × π
    0.69232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17499300956119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82950011} λ = 0.82950011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17499300956119))-π/2
    2×atan(8.80212359126616)-π/2
    2×1.45767241156673-π/2
    2.91534482313346-1.57079632675     		φ = 1.34454850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82950011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.526855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34454850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.036954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20710 KachelY 5041 0.82950011 1.34454850 47.526855 77.036954
    Oben rechts KachelX + 1 20711 KachelY 5041 0.82969186 1.34454850 47.537842 77.036954
    Unten links KachelX 20710 KachelY + 1 5042 0.82950011 1.34450548 47.526855 77.034490
    Unten rechts KachelX + 1 20711 KachelY + 1 5042 0.82969186 1.34450548 47.537842 77.034490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34454850-1.34450548) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dl = 274.080419999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34454850-1.34450548) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dr = 274.080419999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82950011-0.82969186) × cos(1.34454850) × R
    0.000191749999999935 × 0.22432256232611 × 6371000     		do = 274.041246798054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82950011-0.82969186) × cos(1.34450548) × R
    0.000191749999999935 × 0.224364485751672 × 6371000     		du = 274.092462100216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34454850)-sin(1.34450548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22432256232611-0.224364485751672)×R²
    abs(0.82969186-0.82950011)×4.19234255625012e-05×R²
    0.000191749999999935×4.19234255625012e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.19234255625012e-05×40589641000000     		ar = 75116.3585865578m²