Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20710 / 4061
↖ ↑ ↗
← N 79.243338°
E 47.526855°		 ← 228 m → N 79.243338°
E 47.537842°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
N 79.241287°
E 47.526855°		 ← 228.05 m →
51 994 m²		 N 79.241287°
E 47.537842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632034301757812 y=0.123947143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632034301757812 × 215)
    floor (0.632034301757812 × 32768)
    floor (20710.5)     		tx = 20710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123947143554688 × 215)
    floor (0.123947143554688 × 32768)
    floor (4061.5)     		ty = 4061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20710 / 4061 ti = "15/20710/4061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20710/4061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20710 ÷ 215
    20710 ÷ 32768     		x = 0.63201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4061 ÷ 215
    4061 ÷ 32768     		y = 0.123931884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63201904296875 × 2 - 1) × π
    0.2640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82950011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123931884765625 × 2 - 1) × π
    0.75213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36290565607181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82950011} λ = 0.82950011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36290565607181))-π/2
    2×atan(10.6217698670016)-π/2
    2×1.47692674390533-π/2
    2.95385348781065-1.57079632675     		φ = 1.38305716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82950011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.526855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38305716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.243338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20710 KachelY 4061 0.82950011 1.38305716 47.526855 79.243338
    Oben rechts KachelX + 1 20711 KachelY 4061 0.82969186 1.38305716 47.537842 79.243338
    Unten links KachelX 20710 KachelY + 1 4062 0.82950011 1.38302137 47.526855 79.241287
    Unten rechts KachelX + 1 20711 KachelY + 1 4062 0.82969186 1.38302137 47.537842 79.241287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38305716-1.38302137) × R
    3.5789999999869e-05 × 6371000     		dl = 228.018089999165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38305716-1.38302137) × R
    3.5789999999869e-05 × 6371000     		dr = 228.018089999165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82950011-0.82969186) × cos(1.38305716) × R
    0.000191749999999935 × 0.186638266422191 × 6371000     		do = 228.004631813228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82950011-0.82969186) × cos(1.38302137) × R
    0.000191749999999935 × 0.186673427425948 × 6371000     		du = 228.047585875487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38305716)-sin(1.38302137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186638266422191-0.186673427425948)×R²
    abs(0.82969186-0.82950011)×3.51610037567507e-05×R²
    0.000191749999999935×3.51610037567507e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.51610037567507e-05×40589641000000     		ar = 51994.0778149089m²