Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20710 / 11498
↖ ↑ ↗
← N 81.422950°
W123.118286°		 ← 45.54 m → N 81.422950°
W123.115540°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
N 81.422540°
W123.118286°		 ← 45.54 m →
2 075 m²		 N 81.422540°
W123.115540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158008575439453 y=0.0877265930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158008575439453 × 217)
    floor (0.158008575439453 × 131072)
    floor (20710.5)     		tx = 20710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0877265930175781 × 217)
    floor (0.0877265930175781 × 131072)
    floor (11498.5)     		ty = 11498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20710 / 11498 ti = "17/20710/11498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20710/11498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20710 ÷ 217
    20710 ÷ 131072     		x = 0.158004760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11498 ÷ 217
    11498 ÷ 131072     		y = 0.0877227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158004760742188 × 2 - 1) × π
    -0.683990478515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14881946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0877227783203125 × 2 - 1) × π
    0.824554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59041418166859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14881946} λ = -2.14881946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59041418166859))-π/2
    2×atan(13.3352936937358)-π/2
    2×1.49594744282837-π/2
    2.99189488565673-1.57079632675     		φ = 1.42109856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14881946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.118286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42109856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.422950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20710 KachelY 11498 -2.14881946 1.42109856 -123.118286 81.422950
    Oben rechts KachelX + 1 20711 KachelY 11498 -2.14877153 1.42109856 -123.115540 81.422950
    Unten links KachelX 20710 KachelY + 1 11499 -2.14881946 1.42109141 -123.118286 81.422540
    Unten rechts KachelX + 1 20711 KachelY + 1 11499 -2.14877153 1.42109141 -123.115540 81.422540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42109856-1.42109141) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dl = 45.5526499990111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42109856-1.42109141) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dr = 45.5526499990111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14881946--2.14877153) × cos(1.42109856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149139286200944 × 6371000     		do = 45.5414751870993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14881946--2.14877153) × cos(1.42109141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149146356232947 × 6371000     		du = 45.5436341064238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42109856)-sin(1.42109141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149139286200944-0.149146356232947)×R²
    abs(-2.14877153--2.14881946)×7.07003200289824e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.07003200289824e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.07003200289824e-06×40589641000000     		ar = 2074.58405192462m²