Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2071 / 2103
↖ ↑ ↗
← N 78.941924°
W134.494629°		 ← 468.62 m → N 78.941924°
W134.472657°		 →
↑
468.71 m
↓
↑
468.71 m
↓
N 78.937709°
W134.494629°		 ← 468.79 m →
219 689 m²		 N 78.937709°
W134.472657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126434326171875 y=0.128387451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126434326171875 × 214)
    floor (0.126434326171875 × 16384)
    floor (2071.5)     		tx = 2071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128387451171875 × 214)
    floor (0.128387451171875 × 16384)
    floor (2103.5)     		ty = 2103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2071 / 2103 ti = "14/2071/2103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2071/2103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2071 ÷ 214
    2071 ÷ 16384     		x = 0.12640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2103 ÷ 214
    2103 ÷ 16384     		y = 0.12835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.7471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34737410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12835693359375 × 2 - 1) × π
    0.7432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33510225429218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34737410} λ = -2.34737410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33510225429218))-π/2
    2×atan(10.3305162149871)-π/2
    2×1.47429640633915-π/2
    2.9485928126783-1.57079632675     		φ = 1.37779649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34737410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.494629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37779649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.941924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2071 KachelY 2103 -2.34737410 1.37779649 -134.494629 78.941924
    Oben rechts KachelX + 1 2072 KachelY 2103 -2.34699061 1.37779649 -134.472657 78.941924
    Unten links KachelX 2071 KachelY + 1 2104 -2.34737410 1.37772292 -134.494629 78.937709
    Unten rechts KachelX + 1 2072 KachelY + 1 2104 -2.34699061 1.37772292 -134.472657 78.937709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37779649-1.37772292) × R
    7.35699999998563e-05 × 6371000     		dl = 468.714469999084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37779649-1.37772292) × R
    7.35699999998563e-05 × 6371000     		dr = 468.714469999084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34737410--2.34699061) × cos(1.37779649) × R
    0.000383489999999931 × 0.191803893223529 × 6371000     		do = 468.618108703223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34737410--2.34699061) × cos(1.37772292) × R
    0.000383489999999931 × 0.19187609675018 × 6371000     		du = 468.794517427426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37779649)-sin(1.37772292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191803893223529-0.19187609675018)×R²
    abs(-2.34699061--2.34737410)×7.22035266505217e-05×R²
    0.000383489999999931×7.22035266505217e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.22035266505217e-05×40589641000000     		ar = 219689.431212551m²