Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20709 / 11495
↖ ↑ ↗
← N 81.424179°
W123.121033°		 ← 45.54 m → N 81.424179°
W123.118286°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
N 81.423769°
W123.121033°		 ← 45.55 m →
2 075 m²		 N 81.423769°
W123.118286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158000946044922 y=0.0877037048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158000946044922 × 217)
    floor (0.158000946044922 × 131072)
    floor (20709.5)     		tx = 20709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0877037048339844 × 217)
    floor (0.0877037048339844 × 131072)
    floor (11495.5)     		ty = 11495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20709 / 11495 ti = "17/20709/11495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20709/11495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20709 ÷ 217
    20709 ÷ 131072     		x = 0.157997131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11495 ÷ 217
    11495 ÷ 131072     		y = 0.0876998901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157997131347656 × 2 - 1) × π
    -0.684005737304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.14886740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0876998901367188 × 2 - 1) × π
    0.824600219726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.59055799236745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14886740} λ = -2.14886740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59055799236745))-π/2
    2×atan(13.337211589545)-π/2
    2×1.49595816597849-π/2
    2.99191633195697-1.57079632675     		φ = 1.42112001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14886740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.121033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42112001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.424179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20709 KachelY 11495 -2.14886740 1.42112001 -123.121033 81.424179
    Oben rechts KachelX + 1 20710 KachelY 11495 -2.14881946 1.42112001 -123.118286 81.424179
    Unten links KachelX 20709 KachelY + 1 11496 -2.14886740 1.42111286 -123.121033 81.423769
    Unten rechts KachelX + 1 20710 KachelY + 1 11496 -2.14881946 1.42111286 -123.118286 81.423769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42112001-1.42111286) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42112001-1.42111286) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14886740--2.14881946) × cos(1.42112001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14911807605919 × 6371000     		do = 45.5444987277246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14886740--2.14881946) × cos(1.42111286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149125146114065 × 6371000     		du = 45.5466581044667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42112001)-sin(1.42111286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14911807605919-0.149125146114065)×R²
    abs(-2.14881946--2.14886740)×7.07005487515788e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07005487515788e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07005487515788e-06×40589641000000     		ar = 2074.72179255958m²