Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20706 / 4386
↖ ↑ ↗
← N 78.556130°
E 47.482910°		 ← 242.38 m → N 78.556130°
E 47.493897°		 →
↑
242.42 m
↓
↑
242.42 m
↓
N 78.553950°
E 47.482910°		 ← 242.43 m →
58 763 m²		 N 78.553950°
E 47.493897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631912231445312 y=0.133865356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631912231445312 × 215)
    floor (0.631912231445312 × 32768)
    floor (20706.5)     		tx = 20706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133865356445312 × 215)
    floor (0.133865356445312 × 32768)
    floor (4386.5)     		ty = 4386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20706 / 4386 ti = "15/20706/4386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20706/4386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20706 ÷ 215
    20706 ÷ 32768     		x = 0.63189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4386 ÷ 215
    4386 ÷ 32768     		y = 0.13385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63189697265625 × 2 - 1) × π
    0.2637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82873312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13385009765625 × 2 - 1) × π
    0.7322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30058768656574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82873312} λ = 0.82873312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30058768656574))-π/2
    2×atan(9.98004587060419)-π/2
    2×1.47092971757426-π/2
    2.94185943514852-1.57079632675     		φ = 1.37106311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82873312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37106311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.556130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20706 KachelY 4386 0.82873312 1.37106311 47.482910 78.556130
    Oben rechts KachelX + 1 20707 KachelY 4386 0.82892487 1.37106311 47.493897 78.556130
    Unten links KachelX 20706 KachelY + 1 4387 0.82873312 1.37102506 47.482910 78.553950
    Unten rechts KachelX + 1 20707 KachelY + 1 4387 0.82892487 1.37102506 47.493897 78.553950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37106311-1.37102506) × R
    3.80499999999007e-05 × 6371000     		dl = 242.416549999367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37106311-1.37102506) × R
    3.80499999999007e-05 × 6371000     		dr = 242.416549999367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82873312-0.82892487) × cos(1.37106311) × R
    0.000191750000000046 × 0.198407858425338 × 6371000     		do = 242.382827360894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82873312-0.82892487) × cos(1.37102506) × R
    0.000191750000000046 × 0.198445151830373 × 6371000     		du = 242.428386448252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37106311)-sin(1.37102506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198407858425338-0.198445151830373)×R²
    abs(0.82892487-0.82873312)×3.72934050353879e-05×R²
    0.000191750000000046×3.72934050353879e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.72934050353879e-05×40589641000000     		ar = 58763.1309337404m²