Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20706 / 12227
↖ ↑ ↗
← N 81.119117°
W123.129272°		 ← 47.15 m → N 81.119117°
W123.126526°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.118693°
W123.129272°		 ← 47.15 m →
2 223 m²		 N 81.118693°
W123.126526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157978057861328 y=0.0932884216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157978057861328 × 217)
    floor (0.157978057861328 × 131072)
    floor (20706.5)     		tx = 20706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932884216308594 × 217)
    floor (0.0932884216308594 × 131072)
    floor (12227.5)     		ty = 12227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20706 / 12227 ti = "17/20706/12227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20706/12227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20706 ÷ 217
    20706 ÷ 131072     		x = 0.157974243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12227 ÷ 217
    12227 ÷ 131072     		y = 0.0932846069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157974243164062 × 2 - 1) × π
    -0.684051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14901121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0932846069335938 × 2 - 1) × π
    0.813430786132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.55546818184557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14901121} λ = -2.14901121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55546818184557))-π/2
    2×atan(12.8773271772283)-π/2
    2×1.49329599743505-π/2
    2.9865919948701-1.57079632675     		φ = 1.41579567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14901121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.129272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41579567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.119117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20706 KachelY 12227 -2.14901121 1.41579567 -123.129272 81.119117
    Oben rechts KachelX + 1 20707 KachelY 12227 -2.14896327 1.41579567 -123.126526 81.119117
    Unten links KachelX 20706 KachelY + 1 12228 -2.14901121 1.41578827 -123.129272 81.118693
    Unten rechts KachelX + 1 20707 KachelY + 1 12228 -2.14896327 1.41578827 -123.126526 81.118693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41579567-1.41578827) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41579567-1.41578827) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14901121--2.14896327) × cos(1.41579567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154380748212041 × 6371000     		do = 47.1518542643855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14901121--2.14896327) × cos(1.41578827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154388059492392 × 6371000     		du = 47.1540873175969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41579567)-sin(1.41578827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154380748212041-0.154388059492392)×R²
    abs(-2.14896327--2.14901121)×7.3112803504749e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.3112803504749e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.3112803504749e-06×40589641000000     		ar = 2223.0456690912m²