Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20704 / 12256
↖ ↑ ↗
← N 81.106812°
W123.134765°		 ← 47.21 m → N 81.106812°
W123.132019°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
N 81.106387°
W123.134765°		 ← 47.21 m →
2 232 m²		 N 81.106387°
W123.132019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157962799072266 y=0.0935096740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157962799072266 × 217)
    floor (0.157962799072266 × 131072)
    floor (20704.5)     		tx = 20704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935096740722656 × 217)
    floor (0.0935096740722656 × 131072)
    floor (12256.5)     		ty = 12256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20704 / 12256 ti = "17/20704/12256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20704/12256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20704 ÷ 217
    20704 ÷ 131072     		x = 0.157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12256 ÷ 217
    12256 ÷ 131072     		y = 0.093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.68408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14910708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093505859375 × 2 - 1) × π
    0.81298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55407801175659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14910708} λ = -2.14910708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55407801175659))-π/2
    2×atan(12.859437939583)-π/2
    2×1.49318861595775-π/2
    2.98637723191551-1.57079632675     		φ = 1.41558091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14910708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.134765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41558091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.106812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20704 KachelY 12256 -2.14910708 1.41558091 -123.134765 81.106812
    Oben rechts KachelX + 1 20705 KachelY 12256 -2.14905915 1.41558091 -123.132019 81.106812
    Unten links KachelX 20704 KachelY + 1 12257 -2.14910708 1.41557349 -123.134765 81.106387
    Unten rechts KachelX + 1 20705 KachelY + 1 12257 -2.14905915 1.41557349 -123.132019 81.106387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41558091-1.41557349) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41558091-1.41557349) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14910708--2.14905915) × cos(1.41558091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15459292998482 × 6371000     		do = 47.2068109238414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14910708--2.14905915) × cos(1.41557349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154600260779192 × 6371000     		du = 47.2090494700925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41558091)-sin(1.41557349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15459292998482-0.154600260779192)×R²
    abs(-2.14905915--2.14910708)×7.33079437248429e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.33079437248429e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.33079437248429e-06×40589641000000     		ar = 2231.65198672401m²