Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2070 / 2102
↖ ↑ ↗
← N 78.946137°
W134.516602°		 ← 468.45 m → N 78.946137°
W134.494629°		 →
↑
468.52 m
↓
↑
468.52 m
↓
N 78.941924°
W134.516602°		 ← 468.63 m →
219 523 m²		 N 78.941924°
W134.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126373291015625 y=0.128326416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126373291015625 × 214)
    floor (0.126373291015625 × 16384)
    floor (2070.5)     		tx = 2070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128326416015625 × 214)
    floor (0.128326416015625 × 16384)
    floor (2102.5)     		ty = 2102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2070 / 2102 ti = "14/2070/2102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2070/2102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2070 ÷ 214
    2070 ÷ 16384     		x = 0.1263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2102 ÷ 214
    2102 ÷ 16384     		y = 0.1282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34775760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1282958984375 × 2 - 1) × π
    0.743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33548574948914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34775760} λ = -2.34775760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33548574948914))-π/2
    2×atan(10.3344786780819)-π/2
    2×1.47433317735552-π/2
    2.94866635471104-1.57079632675     		φ = 1.37787003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34775760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.516602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37787003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.946137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2070 KachelY 2102 -2.34775760 1.37787003 -134.516602 78.946137
    Oben rechts KachelX + 1 2071 KachelY 2102 -2.34737410 1.37787003 -134.494629 78.946137
    Unten links KachelX 2070 KachelY + 1 2103 -2.34775760 1.37779649 -134.516602 78.941924
    Unten rechts KachelX + 1 2071 KachelY + 1 2103 -2.34737410 1.37779649 -134.494629 78.941924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37787003-1.37779649) × R
    7.35400000000386e-05 × 6371000     		dl = 468.523340000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37787003-1.37779649) × R
    7.35400000000386e-05 × 6371000     		dr = 468.523340000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34775760--2.34737410) × cos(1.37787003) × R
    0.00038349999999987 × 0.191731718102153 × 6371000     		do = 468.453984606892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34775760--2.34737410) × cos(1.37779649) × R
    0.00038349999999987 × 0.191803893223529 × 6371000     		du = 468.630328529186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37787003)-sin(1.37779649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191731718102153-0.191803893223529)×R²
    abs(-2.34737410--2.34775760)×7.21751213765831e-05×R²
    0.00038349999999987×7.21751213765831e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.21751213765831e-05×40589641000000     		ar = 219522.936224913m²