Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20694 / 4058
↖ ↑ ↗
← N 79.249488°
E 47.351074°		 ← 227.88 m → N 79.249488°
E 47.362061°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
N 79.247438°
E 47.351074°		 ← 227.92 m →
51 936 m²		 N 79.247438°
E 47.362061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631546020507812 y=0.123855590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631546020507812 × 215)
    floor (0.631546020507812 × 32768)
    floor (20694.5)     		tx = 20694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123855590820312 × 215)
    floor (0.123855590820312 × 32768)
    floor (4058.5)     		ty = 4058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20694 / 4058 ti = "15/20694/4058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20694/4058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20694 ÷ 215
    20694 ÷ 32768     		x = 0.63153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4058 ÷ 215
    4058 ÷ 32768     		y = 0.12384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63153076171875 × 2 - 1) × π
    0.2630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82643215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12384033203125 × 2 - 1) × π
    0.7523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36348089886725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82643215} λ = 0.82643215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36348089886725))-π/2
    2×atan(10.6278817213239)-π/2
    2×1.4769804098983-π/2
    2.95396081979659-1.57079632675     		φ = 1.38316449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82643215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.351074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38316449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.249488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20694 KachelY 4058 0.82643215 1.38316449 47.351074 79.249488
    Oben rechts KachelX + 1 20695 KachelY 4058 0.82662390 1.38316449 47.362061 79.249488
    Unten links KachelX 20694 KachelY + 1 4059 0.82643215 1.38312872 47.351074 79.247438
    Unten rechts KachelX + 1 20695 KachelY + 1 4059 0.82662390 1.38312872 47.362061 79.247438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38316449-1.38312872) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38316449-1.38312872) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82643215-0.82662390) × cos(1.38316449) × R
    0.000191749999999935 × 0.186532821274633 × 6371000     		do = 227.87581588225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82643215-0.82662390) × cos(1.38312872) × R
    0.000191749999999935 × 0.186567963346355 × 6371000     		du = 227.918746816391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38316449)-sin(1.38312872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186532821274633-0.186567963346355)×R²
    abs(0.82662390-0.82643215)×3.51420717219497e-05×R²
    0.000191749999999935×3.51420717219497e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.51420717219497e-05×40589641000000     		ar = 51935.6641441743m²