Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20694 / 12630
↖ ↑ ↗
← N 80.946596°
W123.162231°		 ← 48.05 m → N 80.946596°
W123.159485°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
N 80.946164°
W123.162231°		 ← 48.05 m →
2 308 m²		 N 80.946164°
W123.159485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157886505126953 y=0.0963630676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157886505126953 × 217)
    floor (0.157886505126953 × 131072)
    floor (20694.5)     		tx = 20694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963630676269531 × 217)
    floor (0.0963630676269531 × 131072)
    floor (12630.5)     		ty = 12630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20694 / 12630 ti = "17/20694/12630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20694/12630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20694 ÷ 217
    20694 ÷ 131072     		x = 0.157882690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12630 ÷ 217
    12630 ÷ 131072     		y = 0.0963592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.684234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14958645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0963592529296875 × 2 - 1) × π
    0.807281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53614961129869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14958645} λ = -2.14958645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53614961129869))-π/2
    2×atan(12.6309431796609)-π/2
    2×1.49179046969792-π/2
    2.98358093939583-1.57079632675     		φ = 1.41278461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14958645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.162231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41278461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.946596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20694 KachelY 12630 -2.14958645 1.41278461 -123.162231 80.946596
    Oben rechts KachelX + 1 20695 KachelY 12630 -2.14953852 1.41278461 -123.159485 80.946596
    Unten links KachelX 20694 KachelY + 1 12631 -2.14958645 1.41277707 -123.162231 80.946164
    Unten rechts KachelX + 1 20695 KachelY + 1 12631 -2.14953852 1.41277707 -123.159485 80.946164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41278461-1.41277707) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dl = 48.0373400008862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41278461-1.41277707) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dr = 48.0373400008862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14958645--2.14953852) × cos(1.41278461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157355005566546 × 6371000     		do = 48.0502439304913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14958645--2.14953852) × cos(1.41277707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157362451629519 × 6371000     		du = 48.052517675396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41278461)-sin(1.41277707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157355005566546-0.157362451629519)×R²
    abs(-2.14953852--2.14958645)×7.44606297239936e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.44606297239936e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.44606297239936e-06×40589641000000     		ar = 2308.26051729873m²