Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20692 / 12628
↖ ↑ ↗
← N 80.947460°
W123.167725°		 ← 48.06 m → N 80.947460°
W123.164978°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
N 80.947028°
W123.167725°		 ← 48.06 m →
2 309 m²		 N 80.947028°
W123.164978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157871246337891 y=0.0963478088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157871246337891 × 217)
    floor (0.157871246337891 × 131072)
    floor (20692.5)     		tx = 20692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963478088378906 × 217)
    floor (0.0963478088378906 × 131072)
    floor (12628.5)     		ty = 12628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20692 / 12628 ti = "17/20692/12628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20692/12628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20692 ÷ 217
    20692 ÷ 131072     		x = 0.157867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12628 ÷ 217
    12628 ÷ 131072     		y = 0.096343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.68426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14968233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096343994140625 × 2 - 1) × π
    0.80731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53624548509793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14968233} λ = -2.14968233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53624548509793))-π/2
    2×atan(12.6321542142238)-π/2
    2×1.49179801245182-π/2
    2.98359602490364-1.57079632675     		φ = 1.41279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14968233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.947460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20692 KachelY 12628 -2.14968233 1.41279970 -123.167725 80.947460
    Oben rechts KachelX + 1 20693 KachelY 12628 -2.14963439 1.41279970 -123.164978 80.947460
    Unten links KachelX 20692 KachelY + 1 12629 -2.14968233 1.41279216 -123.167725 80.947028
    Unten rechts KachelX + 1 20693 KachelY + 1 12629 -2.14963439 1.41279216 -123.164978 80.947028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41279970-1.41279216) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dl = 48.0373400008862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41279970-1.41279216) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dr = 48.0373400008862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14968233--2.14963439) × cos(1.41279970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15734010353832 × 6371000     		do = 48.0557175548364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14968233--2.14963439) × cos(1.41279216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157347549619195 × 6371000     		du = 48.0579917795979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41279970)-sin(1.41279216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15734010353832-0.157347549619195)×R²
    abs(-2.14963439--2.14968233)×7.44608087560605e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.44608087560605e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.44608087560605e-06×40589641000000     		ar = 2308.52346695009m²