Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20691 / 4052
↖ ↑ ↗
← N 79.261777°
E 47.318115°		 ← 227.61 m → N 79.261777°
E 47.329101°		 →
↑
227.70 m
↓
↑
227.70 m
↓
N 79.259729°
E 47.318115°		 ← 227.65 m →
51 831 m²		 N 79.259729°
E 47.329101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631454467773438 y=0.123672485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631454467773438 × 215)
    floor (0.631454467773438 × 32768)
    floor (20691.5)     		tx = 20691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123672485351562 × 215)
    floor (0.123672485351562 × 32768)
    floor (4052.5)     		ty = 4052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20691 / 4052 ti = "15/20691/4052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20691/4052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20691 ÷ 215
    20691 ÷ 32768     		x = 0.631439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4052 ÷ 215
    4052 ÷ 32768     		y = 0.1236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631439208984375 × 2 - 1) × π
    0.26287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82585691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1236572265625 × 2 - 1) × π
    0.752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36463138445813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82585691} λ = 0.82585691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36463138445813))-π/2
    2×atan(10.640115982427)-π/2
    2×1.47708765093901-π/2
    2.95417530187802-1.57079632675     		φ = 1.38337898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82585691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.318115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38337898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.261777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20691 KachelY 4052 0.82585691 1.38337898 47.318115 79.261777
    Oben rechts KachelX + 1 20692 KachelY 4052 0.82604865 1.38337898 47.329101 79.261777
    Unten links KachelX 20691 KachelY + 1 4053 0.82585691 1.38334324 47.318115 79.259729
    Unten rechts KachelX + 1 20692 KachelY + 1 4053 0.82604865 1.38334324 47.329101 79.259729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38337898-1.38334324) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dl = 227.699539999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38337898-1.38334324) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dr = 227.699539999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82585691-0.82604865) × cos(1.38337898) × R
    0.000191739999999996 × 0.186322091557394 × 6371000     		do = 227.606509608148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82585691-0.82604865) × cos(1.38334324) × R
    0.000191739999999996 × 0.186357205585118 × 6371000     		du = 227.649404045526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38337898)-sin(1.38334324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186322091557394-0.186357205585118)×R²
    abs(0.82604865-0.82585691)×3.5114027723826e-05×R²
    0.000191739999999996×3.5114027723826e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.5114027723826e-05×40589641000000     		ar = 51830.7810664366m²