Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20691 / 12248
↖ ↑ ↗
← N 81.110208°
W123.170471°		 ← 47.19 m → N 81.110208°
W123.167725°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
N 81.109783°
W123.170471°		 ← 47.19 m →
2 228 m²		 N 81.109783°
W123.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157863616943359 y=0.0934486389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157863616943359 × 217)
    floor (0.157863616943359 × 131072)
    floor (20691.5)     		tx = 20691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0934486389160156 × 217)
    floor (0.0934486389160156 × 131072)
    floor (12248.5)     		ty = 12248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20691 / 12248 ti = "17/20691/12248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20691/12248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20691 ÷ 217
    20691 ÷ 131072     		x = 0.157859802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12248 ÷ 217
    12248 ÷ 131072     		y = 0.09344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157859802246094 × 2 - 1) × π
    -0.684280395507812 × 3.1415926535     		Λ = -2.14973026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09344482421875 × 2 - 1) × π
    0.8131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55446150695355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14973026} λ = -2.14973026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55446150695355))-π/2
    2×atan(12.8643704179989)-π/2
    2×1.49321825316683-π/2
    2.98643650633366-1.57079632675     		φ = 1.41564018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14973026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.170471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41564018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.110208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20691 KachelY 12248 -2.14973026 1.41564018 -123.170471 81.110208
    Oben rechts KachelX + 1 20692 KachelY 12248 -2.14968233 1.41564018 -123.167725 81.110208
    Unten links KachelX 20691 KachelY + 1 12249 -2.14973026 1.41563277 -123.170471 81.109783
    Unten rechts KachelX + 1 20692 KachelY + 1 12249 -2.14968233 1.41563277 -123.167725 81.109783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41564018-1.41563277) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41564018-1.41563277) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14973026--2.14968233) × cos(1.41564018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154534372242334 × 6371000     		do = 47.1889296127236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14973026--2.14968233) × cos(1.41563277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15454169322482 × 6371000     		du = 47.1911651627971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41564018)-sin(1.41563277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154534372242334-0.15454169322482)×R²
    abs(-2.14968233--2.14973026)×7.32098248601432e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.32098248601432e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.32098248601432e-06×40589641000000     		ar = 2227.80013809694m²